I. Soit p un nombre premier de la forme Am+1, nous

ŒUTOnNS (7) Renm(p—1)=lonn(p—1)=060 (modp?), (1Z2n£<m—1).

Dans ce cas, nous appliquons la congruence (11) du para-

graphe LXXXIX, ce qui donnera

8R,(a)—81,(a)=15 Sn+m(a) —10 Somalie dons) Mode)

de sorte que nous aurons, en vertu de (2),

{ 16 Rh(a) — 8 S,(a) + 15 Sp+rn a) — 10 Sn+3m(4) +9 Sntsn (de) * l (mod p3), | 1607 (a)=—9 SA) T0 Sntm(a) +10 Satsm(a)—3 Sn+s5m(a) (9) l (mod p#).

Cela posé, il est évident qu'il faut étudier séparément le cas par-

ticulièr 7 = 1.

L'hypothèse p — 4m +1 ne présente aucun intérêt, parce que

nous avons évidemment

(p —1 (10) Rp) = lip 0) = LED.

Soit maintenant p— 4m +3, les congruences (6) donneront  Ri(p NES PE (— IE) PACS B 1 + B3»+2)p (mod p?),

de sorte que nous aurons finalement, en vertu de la congruence (12)

du paragraphe LX VIT,

R,(p — î k . à 1; (—1)24 By (mod p), «u) fee ra — 1 1r4b,. (modp);

ces résultats sont dus à M. Voronoï (1).

Etudions maintenant le cas général. Supposons tout d'abord

nous aurons, en vertu de (6),

R>; — 1EE — — n—1B, (1®») Se (mod p);

il est très curieux, ce me semble, que les seconds membres de ces congruences ne dépendent pas du nombre premier p.

Appliquons ensuite la congruence (11) du paragraphe LXVII, nous aurons de plus

Ron+1(p —1) 157 ( L) —1)}t+n (8 ER PP nn pe Re à. (mod p).

P P 8nr +2

Soit ensuite P=4AMm+1,

le même procédé donnera

Ron(p —1) / B (—1)on | à =(—1t Fat <e RER en, Buin) (modp), 14 2 L La (p —1) B (— 3} 2. es (—i)ron Er ; =(—7rÿ (+ ——" Brin) (mod p).