RER A
(') Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, t. 30, 1899, p. 184.
CUHAP, XX. — DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 383
Quant aux sommes Roy41(p —1) et lon 41(p — 1), nous avons à appliquer les congruences (8) et (9), ce qui donnera, en vertu des formules
Br+tom=(—1)"2 Brim— By (modp),
ON) OB, = RB, (modp),
urées directement des congruences (9) et (11) du paragraphe LX VII,
Renmitp 1) VA Ba D:
eZ : 3 e - : Burn) (mod p).
(15) PE 2 (CRT Lh+1(p —1) INV/B (—1)on Er Un à ST or ? Lo ( > (= es Buvn) (mod p),
de sorte que nous aurons
Ron — 9 — ON ss D = (n+! ) tp 0 AP) (modp), (16) S Fe ‘ ?
MP E al) ; J >n (PP =) , PE = (r : :) e, (mod p),
congruences qui sont précisément de la même forme que celle-ci
pe 1) = (n+ :) SLA De] (mod p), p? 2 P lirée directement des formules (=) du paragraphe LXX VIT. Appliquons les congruences (4), nous verrons que la formule (11) du paragraphe XCIIT admet des applications immédiates sur les sommes R,(a) et I,(«). Or, les résultats généraux étant assez compliqués, nous nous bornerons à indiquer les formules les plus simples, tirées directement des congruences (4). Soit p de la forme 4m + 3, nous aurons
Are 1) AT nt
Ron(2m et) =— lin(2m +1) = TES (modp), (17) | Cort.
Ronni (2m +1) = lnn(2m +1) = QUES (mod p),
de sorte que le second membre de la dernière de ces formules est
indépendant du nombre premier vor Soit maintenant P de la forme 4 mr +1, nous aurons au contraire
(18) Ron(2m)=ln(2m)=0 (mod p);
: » . % FER l'étude ultérieure de ces congruences, établie à l’aide des convruences (6), donnera des résultats assez compliqués. Dans le cas p — {4m +1, nous aurons de même (— 1)
R:(m) = —(E£,+ = 1072 Extm) ( modp),
(En —(— 1)" Ensm) (mod p).
( ) nm) = \
Les formules que nous venons de développer montrent clairement qu'il existe une analogie très étendue entre les sommes de puissances S,(a) et les sommes R,(a) et 1,(«).
Or, il est possible de pousser beaucoup plus loin lanalogie susdite, nous le verrons dans les paragraphes suivants.
Soient (1) PES MT UT NET ET
l'ensemble des résidus quadratiques du nombre premier p—2m+1, les coefficients 4, du polynome entier du degré
(2) RÉ ACr RNC Eo CS) = DRE QE, , Lam T+ Am et les sommes
Ra(p—1)=r? +rf +... re,
que nous venons d'étudier, sont liés par les formules de Newton
q=nr—1
(3) AG D: (—1)ayRn-q(p —1)+(—i)tna,= 0.
où 1l faut supposer 2 £ 2 mn, tandis que nous aurons (400) Ri(p—1)— a =o, ce qui donnera le résultat connu
(5) {n=0 (modp); (£n£m—i)
sé us ec À tn
métis. mbté ichéitose tuent à an x à
PT OT TP PS NN PV ON IE OS ee
a + Cons dun éd SE à ns di des! iostnblos)tsiéhé nés qu
CHAPS XX. — "DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. - 385
De plus, nous aurons, en vertu de (3}et (4), (6) Ry(p—1)+(—iïnan= (mod p?), SONO)
Soit maintenant p de la forme 4m+3, la première Gr congruences (1) du paragraphe précédent donnera
(7) a —=— : + (— 1) Bu: (mod p),
tandis que nous aurons généralement, en vertu des formules (12)
et (13) du paragraphe susdit,
Œ (— 1)2B a — noue (modp), (8) don+1 Æ I Le CE sn) PUR PE DUR Le) Hot
où 1l faut supposer 1£n£<2m, respectivement SU 2m. Soit ensuite p de la forme 4m + 1, nous aurons de même
(— 1) By Lan Œn —1
) (mod p), (Er 2m EN)
tandis que les @,}1 satisfont à la condition (10) Œinti—=0 (modp?), (DENT EL:
nous aurons dans ce cas, en vertu de (3),
Ron+1(p—1)— &Ron(p —1) + don Ri(p —1) + (on +1)ainH = 0 (mod p?),
ce qui donnera après un calcul simple
(1) Die ES Ca (n- :) ( re ur Pntx ) (modp),
2 } in AR —1
d’où, en vertu de (0),
Aon+1 D \ Gr É a — — (mod p).
(re) p? ( À P É
Quant au coefficient &,, il résulte, en vertu de (4),
(13) : a=Rip—i)= PE.
NIELS NIELSEN
Revenons maintenant à la formule (3), puis posons # — m, il résulte
(14) Rm(p—1)+(—i)mrrs...rTm=o0o (modp?), (p=2m+i) appliquons ensuite les congruences 2r7m=9+pk(rs) (modp?), (LSS 70)
üirées directement des formules (4) et (5) du paragraphe LXXXIX, il résulte
2Rn(p—1)=p—1+pŸ (rs) (mod p?),
S=1 ce qui donnera le résultat bien connu (15) laTa Te. Tim (—1)""1 (mod p).
Posons ensuite (16) RE in
nous aurons, pour le nombre entier Q,,
