SEL

A # AE et nous trouvons de même, pour p = 17 +1,

Û a] 4 (27) De = Bin + RO LS ŒSuRR (mod p),

tandis que l’hypothèse p = 4m + 3 donnera

(28) RÉ L . (mod p), de sorte que nous aurons, dans ce cas,

(29) 0,= 9, (mod p).

On voit que l’analogie des deux congruences (15) et (24) avec le théorème de Wilson est parfaite. On voit de plus que chacun des deux nombres entiers Q, et Q, que nous désignons comme quotients de Gauss, est très semblable au quotient de Wilson.

Multiplions les deux congruences susdites, nous avons une nouvelle démonstration du théorème de Wilson, de sorte que les formules (16) et (25) donnent, pour les quotients de Wilson et de Gauss,

(30) Wp=9Q,+ Q!, (mod p),

d’où, en vertu de (29), (31) .2=0,=1W, (modp), (p=ém+3),

congruence qui est facile à démontrer directement. : On voit que la congruence (30) donnera de nouveau |’ expression bien connue pour le quotient de Wilson.

Soit p un nombre premier de la forme 4m +1, la congruence

évidente p—i p—t

a ? =(p—a) ? (mod p)

Le."

montre clairement que & et p — a sont en même temps résidus ou

non-résidus de p; c’est-à-dire qu’il est possible d’ordonner les résidus quadratiques

(1) Ta a Ts Mare Ton:

de sorte que nous aurons toujours

(2) Ps + Tm-s+1 = D, (HÉSSam).

Cela posé, il est évident que le polynome du degré 2m

(3) f(x) = (me hri)(r Er)... (t + rom)

= RM a RM EH Qu 1 + Qi

satisfait à l'équation fonctionnelle .

| (4) f(—z—p)= f(x), | ‘ | de sorte que nous aurons, en vertu des formules générales du paragraphe LXIX, : à [am —s À | (9) [1—(—i)t an = > oi Cu }r° S@s, Er. == 0 ET S=2n+1 MUR 27 2$5+ \ APS ( p ) 0— (— 1} — ds

(2) di ) 2n—Ss+1/ \2.

; f2m—2s—t FX 8 (7) (— 1}? [&en+1 — p(m ET n)asn] =d C—1> ( Sao )prrB., A25+1) k . : —æ 5 L SU : ASS

| .f sm—2s p\?r-?s À (8) (— 1) Gon+1 = 0 Vo r ; ei Tu-s+1 dos.

; S=0 x 4 Posons ensuite pour abréger b ;

: Sn —= EI) =NTE © Pme 077 (9) n Rh(p ) Ve 0 0 ie Hire 4 nous aurons de même E V=n—1

. : | | (10) ONU > a» )r" ’5,, 4 v=0 ; V=2n—1 7 D LAN BD 22 —V+1

Sc).

3 v=0 £ V=n-1 7 6 L 2n+ I) 4 1 \ 1—2Y À è (12) (—1)2 [ann (n+5)s] Æ > Ci )e" VBa-yS2v+1, L. é VN=0 d ! pe ) A DIT TS P 2/1—2V+1 À vis Le av.

F (13) sn Ci " )(£) n—s+1 S2y 4 v=0 | Cela posé, il est évident que les congruences 4 h (14) Son = Ron(p —1)=0 (mod p), (1S7RS<EmMm—1:) à #

donnent tous les autres résultats trouvés dans les paragraphes XCV et XCVI, savoir, en premier lieu,

(15) Ron+1(p —1) = Senr1 = Aonm1=0 (modp?), (Er mMmAN)

De plus, nous aurons, en vertu de (3) et (12),

2 I1\d: ee (16) en (a | (mod p} (1Sn<m—t), 75) \ EL 17 SE NT AE) lt Cf à (i£n£<m—1), ( 7) p? 3 p P

savoir les congruences (12) du paragraphe XCVT et (16) du paragraphe XCV.

Soient ensuite (18) tj, Lo, La, PET lon l’ensemble des non-résidus de p, il est évident que le polynome

(19) Q(T)=(t+u)(æ+is)...(X +iom)

= g2m + bi x?2-1 + + Dies + CEA

satisfait aussi à l'équation fonctionnelle (4). C’est-à-dire que nous pouvons remplacer, dans les formules (5), (6), (3), (8), les a, par les b, correspondants.

De plus, posons pour abréger

(19) Sn=In(p—1=i+i+...+i,,

nous pouvons remplacer, dans les formules (10), (1 1), (13), lesise

par les $, Correspondants.

Revenons maintenant aux formules (16) et (25) du paragraphe

récédent, savoir P ; (20) { Am=—1+pO,,

l DE = DO

PDP le théorème [I du paragraphe LXX donnera respectivement (21) (rirers...rmPæ=(—i)n1 (modp),

(22) (tets.ee im) =(—r" (mod p}).

Soit maintenant » un nombre impair, Savoir M—2n +1, ce qui donnera

cn +

CHAP. XX. — DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. .391 il résulte, en vertu de (2r},

(23) TA TS ee l'on EI (mod p );

posons ensuite / (24) TA Tolge ee lan = (— 1) + pQ},

le théorème IT du paragraphe LXX donnera les congruences

k ” CE [ (25) 2 2 = (1 (- nn nn on )— 1, (mod p).

UE To l'on+)

Soit, au contraire, 7» un nombre pair, savoir, M—2n, ce qui donnera pP—8m ET,

il résulte, en vertu de (22), (26) ” litots.. lon = EI (mod p); posons ensuite

(25) Üilst3 -.. Ton —(— 1) + pOQ;,

nous aurons par conséquent

(28) Un 1) diet ) (= 1) 0;.