IX. — Développements d’une seule puissance
Appliquons maintenant la fonction
(Gi) ata)= (a+ (y ()ta+s—ry 1° =9
introduite dans les formules (23) et (24) du paragraphe V ; le développement général (3) du paragraphe VIIT donnera @) œ+ar=S (* }a (2) (m2 Tn),
d’où, en posant — z au lieu de +, puis appliquant l He (10) du A arihe VIT
(3) Re t. (m2n),
ce qui donnera pour 4 = 0
(4) =D iye(e Ti ja (mEn).
Se ; e Posons encore, dans (4), m—n; la formule ainsi obtenue est
appliquée déjà par Fermat pour déterminer les premières des sommes de puissances semblables
Sa(p)=17+92+3n+,,.+ pr.
La formule (4) est indiquée par Sürling (!) et retrouvée par beaucoup de géomètres, par exemple Kramp (2), Herschel (*?), Cauchy (*), Puiseux (5).
Revenons maintenant à la formule générale (2), elle nous donnera immédiatement une équation fonctionnelle qui doit être satisfaite
) Methodus differentialis, p. 8. Londres, 1730. ) Hindenburg comb. analyt. Abhandlungen, t. IT, p. 365. Leipzig, 1800. ) Calculus of Jinite differences. Londres, 1820. ) Résumés analytiques, p. 34-35. Turin, 1833. Journal de Mathématiques, t. II, 1846, p. 477-488.
(e ( ( \ fe
citant me dé LÉ
par les fonctions A"(4). En effet, multiplions par THa—(T—s)+(a+s),
nous aurons l'identité
s=n+1 Se S=n LUE C ; o 2 (F)aurts (a) > CE,)e+ Da (a) + Ù ee (a+ s)dbf(x), Li S==I0 sS=0
ce qui donnera, en vertu du théorème IV du paragraphe 1, (5) MS ti(a)= sr (a) +(ax+s)LE(a), où il faut supposer 1<s<n, tandis que nous aurons
(6) { ALiti(a)=adby(a) = 21, RTE) Ur (a) = Cr) Cherchons encore, dans (2), le coefficient de la puissance æ%7 qui figure aux deux membres de la formule susdite, nous aurons l'identité
FO TT (— 1} RUES tr s)i cs dits (a),
SD
où les C;, sont les coefficients de factorielle du rang m. Dans nos recherches suivantes nous avons besoin d’un autre développement de la puissance x”. A cet effet, posons pour abréger
sS=p
. EN 4 et À (8) (a) = Cix ; j@+p—sy,
où m,n, p désignent des entiers non négatifs, tandis que # est une variable complexe; je dis que nous aurons l'identité
= pp
LES ON DE) n,r ARE r (9) DA Ne } (a)=(2+p}.
En effet, introduisons dans (9), au lieu de 15%” (x), les expressions correspondantes tirées de la définition (8), puis ordonnons, d’après les puissances (4+-p — q)", le coefficient de cette même puissance
deviendra, en vertu de la formule (15) du paragraphe VIT,
Déni set (Tes (g>o).
CPE ) È /
Cela posé, il est facile de démontrer le théorème suivant :
I. Soient x et à des variables complexes, tandis que met n désignent des positifs entiers, tels que mn, nous aurons Loujours
S=m+I1 LENS A = Con (rx) > ( 2 }gr (a) (m2n).
sS —=0
En effet, étudions l’équation algébrique (10), dont le degré par rapport à æ est égal à m au plus, puis posons — D; 1SpSm+t,
nous retrouvons toujours la formule (9); c’est-à-dire que notre équation est une identité parce qu'elle à (m + 1) racines inégales. Dans le cas spécial m — n, nous posons pour abréger
(HE) VE" (a) = V55(x), ce qui donnera, en vertu de (8), S = p
(19) =) nf) (ap sys
Sd
soit encore à — 0, nous posons de plus
(13) Vpr(0) = Ve, 155°*(0) = W53(0) = Wb?, savoir S=p * , Mm + I (14) (FE DE x (TA }Co— si, s=p (15) = Ù (—i) (PT) sn $S=N0 ;
Le cas spécial de la formule (10) qui correspond àa—0,m— n,
est dû à Worpitzky (!), tandis qu'Euler (?) a appliqué les nombres 157.
Introduisons maintenant, dans (5), successivement
BHO 2,5...
la conclusion ordinaire de n à n—+1 donnera l'identité remar-
quable (16) UE (a) = (— ph yen dre nm -p+1 (X —( 1) lo (or) (O= PE 7 Eu)
ou, ce qui est la même chose,
(17) (IAE 1(x ras. (? S'Jenpesr
En effet, la formule en question est évidente, p —o et p—1; supposons ensuite qu'elle soit vraie pour
(18) D'=DNL O0, eng 1,
puis posons, dans (10), x = q et introduisons les expressions correspondantes aux valeurs (18) dep, urées directement de Ja formule (15), puis ordonnons d’après les expressions
= 1}4=n- 1 (q — s—1)?, le coefficient correspondant deviendra, en vertu de la formule (17) T du paragraphe VIT, l=SsS—1
\ (77) Rene) BE ml S—r 7 s
ce qui nous conduira immédiatement au but.
L'hypothèse « — o donnera, en vertu de (16),
(19) Vi (— ri) bit (Sp Sm), d’où, pour m— n»,
(20) VE pes = US (ES DENT)
Es
(!) Journal de Crelle, t. 94, 1883, p. 203-252. L (2) Institutiones calculi differentialis, p. 487-491. Petrograd, 1755.
30 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS. tandis que nous aurons
(21) WE =Vb=0 (2>0)
