X. — Remarques sur les opérations D, À

Supposons que les deux polynomes

F(x) = aott+ ax l+...+ ant + An,

FE) = ba RAP ES 07 aT EE 0 soient liés par la relation () EGP = CE), nous ns en vertu de la formule (6) du paragraphe Il, (2) (= p\as=b OU(oE pEnR EN)

c’est-à-dire que f(x) est parfaitement déterminé, pourvu que F(x) soit donné.

Inversement, supposons donné f(x), l'équation (2) ne nous permet pas de déterminer le coefficient &,, ce qui est évident du reste. En effet, soit F(x) un polyÿnome qui satisfait à l'équation (1), et soit C une constante quelconque, le polynome

(@) P(x) = F(x)+ CG est aussi une solution de (1), et inversement; la différence de deux

solutions quelconques de (1) est une constante par rapport à æ. Dans ce qui suit, nous désignons par (4) Br DEC) un polynome quelconque qui satisfait à (1).

Supposons maintenant que les deux polynomes F(x) et f(x) satisfassent à l'équation aux différences finies

(5) AF(æ)= f(x),

la formule (14) du paragraphe V détermine parfaitement f(x), pourvu que F(x) soit donné. Inversement, supposons connu le polynome f(x), Péquation (5) ne détermine pas parfaitement le polynome F(x). En effet, soit F(x) une solution quelconque