Supposons que les dérivées du polynome entier

(9) F(x)=art+aizel+.. Ha, xl + a,

satisfassent aux conditions

(10) EFtn (2) = F(8) ÉD UOE PET),

nous aurons

(11) Où = ie Un 0)

tandis que le coefficient a, peut être choisi arbitrairement.

En effet, introduisons dans (10), savoir

sS=n—p S=n—p

> (” A : aan PS = > de i ds Bar-p—s, s=0 P s=0 } successivement p=n—1, RD lee dE: O

nous aurons immédiatement les conditions (11). Soit p— n, nous

aurons touJours | cs” Ft (a) — Flr)( 8) = gs

32 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS. Il est évident, du reste, que l’inversion du théorème [ est Juste aussi.

ee ; as 2 Comme application directe du théorème I, on conclut qu'un polynome entier F(x) satisfaisant à la condition

où + est une quantité différente de zéro, se réduit à une constante.

Cela posé, il est très remarquable, ce me semble, qu'il existe une infinité de polynomes f(x) du n°" degré, qui sausfont à un des deux groupes de conditions

5) ftr-2P)(o) = (—1)2 fr 2P)(— 1) (o£p=2)

ou

IA

Gé) ro) = (if) (o£p—),

et l'existence d’un seul de ces deux groupes de conditions entraîne

nécessairement le second.

= Les polynomes qui satisfont à de telles conditions sont les poly-

nomes symétriques que nous avons à étudier dans le Chapitre V. De plus, 1l existe, pour une valeur quelconque de » plus grande

que l'unité, des polynomes f(x) du n°®° degré, tels que

GS}, PC TAC DR ER EP RES ou (16) fE(— 1) =— f\P) (0), P Æ NN; FU (—1) = f(0o).

Ces polynomes sont les fonctions de Bernoulli, respectivement d'Euler, fonctions que nous avons à introduire dans le Chapitre suivant.

On voit, en vertu de nos remarques sur les deux opérations A Kfr) et ô F(x), que le polynome entier F(x) est déterminé, abstraction faite d’une constante additive peut-être, pourvu qu'une seule des deux expressions F(x) + F(x — 1) soit donnée.

Supposons maintenant donné un polynome entier o(x), qui n’est pas égal à une constante; il existe une infinité de polynomes

CHAP. 1. — DU CALCUL AUX DIFFÉRENCES FEINIES. CD) entiers / (x) qui satisfont à une seule des deux conditions G5) fe +f(r—n=g()

Dans ce cas, le polynome donné #(x) est un polynome symétrique.

Dans nos recherches suivantes, nous avons à étudier plus ample-

ment les polynomes remarquables que nous venons de mentionner

NIELS NIELSEN