XI. — Propriétés fondamentales

Dans ce qui suit, nous avons à étudier une suite infinie de polynomes entiers

(1) Jo(z), Jfi(æ), f>(&), 3 Fa(@), ss assujettis à satisfaire aux deux conditions suivantes :

1° /Ah(æ) est toujours, quel que soit l'indice », du degré x» par rapport à x;

2° Soit 221, nous aurons constamment (2) TN) Cela posé, je dis qu'il existe une suite infinie ordinaire (3) Lo NE RS or telle que nous aurons, pour une valeur quelconque de l'indice »,

(4) f NE Re Here L PT SUR - , An ) n = =

n | (ns 1) EN (RPM ol

En effet, le polynome f,(x) se présente toujours sous la forme

=n fa(æ) AN Ans TS !

di (r —5s)!

où les &,, sont des constantes par rapport à +, ce qui donnera, en vertu de (2), 6 - S=n—1 k a œh-Ss—1 AE = Ji æ) = NV De RSS PE RUE

? 2 di (n—s—:1)!

de sorte que nous aurons immédiatement An,s = An—1,s (o£s£Sn— 1).

Soit ensuite $ un indice quelconque, nous aurons par conséquent An,s = Ass = À Gus),

ce qui donnera précisément l'expression générale (4).

Inversement, il est évident que les polynomes Ja(x), définis par l'expression générale (4), satisfont aux deux conditions susdites.

Dans ce qui suit nous disons pour abréger que la suite (1) est une suite harmonique, dont la base est la suite ordinaire (3), ce que nous désignons par le symbole | f,(x), än|. De plus, nous désignons par | @, | la base (3) de la suite harmonique (1), et nous disons sim-. plement que le polynome f,(x), défini par l'expression (4), est un polynome harmonique.

Ces définitions adoptées, nous avons tout d’abord à développer les propriétés fondamentales des suites harmoniques, propriétés qui nous sont indispensables dans nos recherches suivantes, et parmi lesquelles nous retrouvons, sous forme élégante, plusieurs des théorèmes que nous venons de démontrer.

Étudions tout d’abord le théorème IV du paragraphe [, nous aurons ICI :

L Soient |fr(x), ail et [o4(x), b,] deux suites harmoniques quelconques, il existe une suite ordinaire

@5) Lys ME Len Con een (Ah lee s de sorte que nous aurons, pour une valeur quelconque de n,

(6) on(T) = 0 fn(&) + Afn1(T) +...+ Lofn ne) Es, an fo(T).

En effet, les polynomes fm) et #,(x) étant toujours d’un degré égal à l’indice, il existe, en vertu du théorème IV du paragraphe I, une identité de la forme

(7) On(æ) = Bo fn(æ) ni Banfn-i(x) AE OUR Banfo(x),

où les $,, sont des constantes par rapport à æ. Introduisons ensuite, dans (7), les expressions obtenues pour w,(x) et les f(x), nous aurons, en égalant les coefficients de la puissance z* * qui figurent

aux deux membres de (5),

(8) b;= no &s + Bn,1 dsi +... + Bn,sdo (o=s£vr).

Cela posé, désignons par s un nombre fixe quelconque, la formule (8) est applicable pour #25; c’est-à-dire que nous aurons

successivement, en introduisant

au heu des, Prin ose (n25),

ce qui donnera précisément la formule (6).

IL. Soient | fr(x), an] et [oa(x), b,] deux suites harmoniques quelconques, l'expression | S=n

(9) An= d(— 1} fa-s(æ)g5 (2)

a toujours une valeur constante, tandis que les polynomes ST

(10) P,(T) = D Jn-s(e)es(æ)s

sS=0 forment une nouvelle suite harmonique.

Etudions tout d’abord l'expression À,, nous aurons, en cherchant la dérivée de A,

An = > (1) ns (ep (T) + + (— 1 as (t)psi(æ) = 0;

c'est-à-dire que À, a une valeur constante par rapport à æ.

Soit æ — 0, 1l résulte, en vertu de (0),

(1) An= Ÿ (— 1) ab S=—=0

Quant aux polynomes ®,(x), définis par la formule (10), nous aurons de même

(12) Ba) b;n(r) Creer) |

de sorte que les D,(x) forment une suite harmonique ; soit [«,] la base correspondante, il résulte, en vertu de (10),

t 1 Nx (13) An = P, (0) Er Gr sb,

Comme conséquence immédiate de la définition des suites harmoniques, nous aurons la proposition suivante :

I. Soit [fr(x), an] une suite harmonique quelconque, la formule de Taylor se présente sous la forme

. h k° < hr (4), fn(r+h)= fr(x) + nn) + fase) ++ fee).

Supposons À —— 1, il résulte s—2Æ S=n s L (— 1})S : ans 4 (15) Into rt) D: < rt) D. pos EE 1) s=0 Si 0 \ ce qui donnera immédiatement S=n—1 CR i .

(16) ISA PACA) atT [= RCE TA ) S—=0 sS=n x , (—1)S, S (17) ALL) = far) far —x)=2fn(g)#+ Al În-s(æ). À Se

Cela posé, il est très facile de démontrer les deux théorèmes sui-

vants :

LV. Supposons que les éléments des deux suites harmoniques [E,(æ), A, ] et [fn(x), a] soient liés par les équations aux différences fines

(18) Fh(z)— Fa(z —1) =fni(z) (2,

Puis Supposons donnée une seule de ces deux suites harmo- ’ ; » ? -minée à l’aide des niques, la seconde est parfaitement déterminée

équations (18).

Soit tout d’abord donnée la suite [F,(x), A, |, nous aurons, en

vertu de (16),

s=n—1I ; (— 1}S (19) EE ni PRE U He ntel s—0

ce qui donnera immédiatement

S—=p ( 1}s (20) ap= D Ars Cpeo)s

c’est-à-dire que les coefficients a, ainsi déterminés forment une suite ordinaire, de sorte que l'équation aux différences finies (18) détermine parfaitement la suite harmonique | /, (x), @, |.

Inversement, supposons donnée la suite [ f,(æx), a, |, les équations (20) déterminent successivement les éléments de la base [A,].

Dans ce qui suit, nous désignons comme suites correspondantes de première espèce deux suites harmoniques [F,(æx}), A,] et [fn(æ);'än|, dont les éléments satisfont aux équations aux différences finies (18).

Le même procédé nous conduira au second des théorèmes susdits :

V. Supposons que les éléments des deux suites harmoniques [Fa(æ), An] et [frx(x), an] soient liés par les équations aux différences finies | (21) Fh(z)+ Fax —1) = fr(x) (n 20),

puis supposons donnée une seule de ces deux suites, la seconde est parfaitement déterminée à l’aide des équations (21).

En effet, nous aurons, en vertu de (1>),

(62) Fate) = F2) LYC, ch.

ce qui donnera immédiatement

Ao — 2A, S=p (23)

CHAP. III. — LES SUITES HARMONIQUES. 39 Dans ce qui suit, nous désignons comme suites correspondantes de seconde espèce deux suites harmoniques [F,(x), A,] et

DASgAr &n|, dont les éléments satisfont aux équations aux différences finies (21).

Quant aux suites harmoniques, nous aurons encore à citer cet autre théorème, évident du reste :

VI. Supposons que les éléments des deux suites harmoniques Ia te); ta] et [o4(x), an] satisfasserit, pour une valeur quelconque de n, aux conditions (24) Jn(0) = vx(0) (20)

les deux suites harmoniques en question sont identiques.

En effet, 1l est évident que les équations (24) ne sont autre chose que les égalités An — An (nZo).

Il est bien connu que M. Appell (!) à étudié, le premier, d’un point de vue systématique, les suites harmoniques.

En effet, soit (1) une suite harmonique conformément à notre définition, et soit, pour une valeur quelconque de 7,

F,(æ)= n'!'fa(z), l'illustre géomètre français étudie la suite infinie Fo(x), Fi(æ), F;(x), COR) Hi); DO

dont les éléments satisfont à la condition CARRE (A) (nZ1).

Or, les applications suivantes des suites harmoniques montrent clairement lavantage de notre modification des définitions de M. Appell.

Ces remarques générales faites relativement aux suites harmoniques, nous avons à étudier les équations aux différences finies (18) et (21), dans lesquelles le second membre se réduit à une seule

puissance.

(!) Annales de l'École Normale, 2° série, t. X, 1880, p. 119-145.