XII. — Les fonctions de Bernoulli
La suite des fonctions de Bernoulli
(1) BC MB: ec) PB CNT DE ee
est la suite harmonique dont les éléments satisfont à l'équation aux
différences finies x i
(2) Bh(z) — Ba(z —1) —
——— IAE + (n—u)! Get
c'est-à-dire que cette équation et la condition fondamentale des suites harmoniques
(3) B'(æ)=Bya(z) -(n21)
déterminent parfaitement la suite des polynomes de Bernoulli. Cela posé, nous aurons immédiatement le théorème suivant :
I. Soient [F,(x}), A,] et [fa(x), a] des suites correspondantes de première espèce, nous aurons, quel que soit l’indice n,
(4) Fa(z)= @Br(x) + Bn(x)+...+ apBn-p(t) +...+ &nBo(æ).
En effet, il est évident que les polynomes F,(zx), définis par les expressions (4), forment une suite harmonique; de plus, nous aurons, en vertu de (2),
Fa(r)—Fn(z —1) = fn-1(t) (nr).
Etudions maintenant la base [2,] de la suite harmonique (1), nous aurons, en vertu dela formule (20) du paragraphe XI, &o— 1,
(5) NÉ Pere À. °
| (S+1)l SE=0
ce qui donnera, pour les premiers des coefficients Ups
6 I (6) Xo— TI, CE La — ) A3 — 0.
Quant à l'étude plus approfondie des équations (5 ), nous prenons
CHAP. II]. — LES SUITES HARMONIQUES. 41 Jour poin épar 1 : I lé iné I point de départ la suite harmonique, dont l’élément général
est déterminé par les expressions
é Fa(æ) = (x +1)Bn1(æ)—(n —1)Ba(æ), Fo(æ) =1,
puis cherchons les éléments Ja(æ ) de la suite correspondante, nous aurons
| fn-(æ)=F;(x)—F,(x —1), ce qui donnera
În=1(&) = Be) + 2[Ba1(t)— Bna(æ—1)] —(n—1)[B;(æ) — B;(æ—1)],
d’où, en vertu de (2),
sS=n—1 : a.xl"—s-1 TE EI CAN > Es 1 Cr Shi s=0
Cela posé, le théorème I donnera
applhiquons ensuite la valeur 4, — 1, nous aurons par conséquent
S=7 (8) (z+1)Buu(z)=nBo(a)+Ÿ a5Bu-s(æ) (Com)
Cherchons ensuite, aux deux membres de (8), le coefficient de la puissance x""P, il résulte
Xp VAR er arte à -Y NT Em (peu) .(n— p—i1)! (n — p)! (n—p)! (n —p)! 4
ce qui donnera, en vertu des deux premières des valeurs numériques (6), (9) (Pp +t)ap=— D LiGp=s (p2 4):
ko
Cela posé, la valeur #,—0, indiquée dans la formule ( 4), donnera, par la conclusion ordinaire de » à m1, le résultat général
(10) Dot (PE)
Posons ensuite
DAE-APRE Fe) x dr (2p)!
(P21); ‘il résulte, en vertu de la valeur de ,, indiquée dans la formule (6),
(12) Bi = >>
tandis que la formule (9) donnera généralement d 2 z (13) (2p +1)B»= > ( P)BeBes;
c’est-à-dire que les éléments de la suite infinie
(14) Bb: BAR RUE
sont des nombres rationnels et positifs.
Introduisons maintenant, dans (5), les expressions (10) et (11), 1l résulte, pour le calcul successif des B,, la formule récursive
(Qr6)) = = D'eo(r ils (pa).
Euler (1!) désigne comme nombres de Bernoulli les éléments de la suite (14), parce que Jacques Bernoulli (?) a introduit ces nombres dans l'Analyse et calculé les cinq premiers des B,, précisément à l’aide de la formule (15); nous le verrons dans le paragraphe XXX VIT. Bernoulli a aussi regardé une suite des fonctions intimement liées aux B,(x), mais seulement définies pour des valeurs positives entières de la variable x.
La formule (13) est due à Euler (#). e
La base [,| de la suite des fonctions de Bernoulli étant déter-
(9) /nstituliones calculi differentialis, p. 422. Petrograd, 1955.
(?) Ars conjectandi, p. 05-97. Bâle, 1513.
(*) /nstitutiones calculi differentialis, p. 421-422. Petrograd, 1995. — Opuscula analytica, t. IL, p. 266. Petrograd, 1385.
minée, nous aurons les expressions suivantes :
BCE Bi(r)= #7? TS (16) -- { ae S; PA il an —1}s-1hB. ras Br) = — + = 2 + Cassie ru 2 (n—1)! (2s)!(n —92s)!
et l'équation aux différences finies (2) donnera par conséquent
lt =) ut
BNC, À.
(a) 4 Le Be LS PAL I ani CŒnaUBSTess | Rnlsn—r)! CNT S = d'où les valeurs numériques ABOUT (18) : (nier B. = —————— ; 2n (0) OUR Bi(o)= - (19) | FAN) 2° | B:»4+1(0) = 0; B5(— 1) =1, Cri l Ca, Bei 7 ; (27204 Bi(—1)=—- 23 ND 1
c’est-à-dire que nous aurons, conformément à la formule (16) paragraphe X,
(22) Br(o) = Bx(—1) (EN) (23) Bio) =— B;(—:1).
du
Remarquons encore que la formule (8) se présente sous Ja
{ ES s-1B, : : re (24) (z+ 2 JBon(e)= nBn(a)+Ÿ Bn-(e) (222), $S=1 ù ;
formule qui nous sera très utile dans nos recherches suivantes.
