XIII. — Les fonctions d'Euler
Les fonctions d’'Euler (1) Eo(æ), Ei(z), E:(x), CCE E,(x),
sont définies comme l’ensemble des polynomes entiers qui satisfont aux équations aux différences finies
VAL (2) En (x) + En(z —1)= (2-20);
c’est-à-dire que la suite (1) est une suite harmonique, savoir
(3) Ù E,(x) = En-1(x) (n21),
ce qui met en pleine lumière l’analogie des fonctions d’'Euler aux fonctions de Bernoulli.
La définition des fonctions d'Euler donnera immédiatement le théorème suivant :
PSoiente|F (7), A, en Lfa(æ) aultéestsuires correspondantes de seconde espèce, nous aurons, quel que soit l'indice n,
(4) Fa(t) ='@En(z) + & En 1x) +...+ ap En-p(t) +.:.+ a, Eo(æ).
Quant à la base de la suite harmonique (1),1l résulte, en vertu de la formule (23) du paragraphe XI,
Bo — 5 (5) pe — 1 ù 2Bp+Ù [ Bp—s = 0; sS—=1
(6) Bo — —» Be CET B3=— —.
Etudions maintenant la suite harmonique formée des fonctions
GP) = (rt 1)E. (x) (n 2 1)Eh+1(æ), nous aurons
Ga(r)+Gnat—1)=En(r)+afEu()+En(r—1)]-— (+ [En C+E ntt&—1)],
d’où, en vertu de (2),
Sn
MANOIR SD MES) Ds sS—=10 ce qui donnera (7) (æ+1)Ene) = (n +1) Enn(e) + Br (x).
Cela posé, nous aurons, en appliquant la méthode expliquée dans le paragraphe précédent,
(8) PhD Fibre :(P23),
de sorte que la valeur paruculière 8, — o nous conduira au résultat [
général (9) Bp=o (p2r).
Posons ensuite " (—1)P-1T (10) Bapt = Bo via (pet)
nous aurons tout d’abord, en vertu de la valeur de 8,, indiquée dans la formule (6),
tandis que la form ule (8) donnera
Eh
s £ : | (12) Le = > D) ES Nes (P = I),
de sorte que la conclusion de 7» à nz +1 nous conduira au théorème
suivant :
IT. Les nombres T,, généralement désignés comme les coe fiicients des tangentes, sont des positifs entiers et des nombres pairs, abstraction faite de T, = 1.
Les coefficients des tangentes sont introduits dans l’Analyse par Euler, qui a trouvé aussi la formule (12) (t). Dans le paragraphe XXX VIII, nous avons à revenir à la détermination des T,.
La base [B,] des polynomes d’Euler ainsi déterminée, nous avons les expressions suivantes :
Ê I Eo(x)= =»
AE EN | (131) ie E. IyEAE N (—1}S—IT,xn-2s+1 TL) — — n(æ) 2 EN Lol (55 OS SS ED ES
et l’équation aux différences finies (2) donnera par conséquent
ler) o ) ne <n+i (14) ET En E ONE DES (—i)s IT, ær-2s+t ë D nt 0 Zi as (nas pis ST d’où les valeurs numériques | Es(o) = .
(y) ) 2 l E»rn(0o) = 0; (—1)2T (16) Hor:1 (0) — a k (2n +1)! o2?r+2 Û I \ Eo(— 1) = - (17) à + Esn(—1) =0; (PS n+1 (18) Eon41(—- 1) = Œu Taxi
(an + 1)! D2n+2?
DES x û , \ c'est-à-dire que nous aurons, conformément à la formule (16) du
(') Opuscula analytica, t. IL, p. 272-273. Petrograd, 1785.
paragraphe X, (19) En(—1) =—E,(0), TUTO Eo(— 1) = Eo(o).
Remarquons encore que la formule (7) se présente sous la forme
J n y (20) CR AOEITENS TE) a (—1}S"1T, À 1e à Se (2$ — 1) De rame ir) (na),
formule qui nous sera très utile dans nos recherches suivantes.
Euler (*) a appliqué les fonctions E,(x), pour des valeurs positves entères de x, tandis que Raabe (2?) a introduit les fonctions en question pour une valeur quelconque de l’argument #, sans connaître évidemment le développement d’'Euler.
