I. — Polynomes identiques

L’équation algébrique du degré n

(1) f(x) =4T + dei +... + ATP +... + Ant + an=0

est identique, pourvu qu'elle soit satisfaite par une valeur quel-

conque de x.

Cette définition adoptée, il est évident que l'équation susdite est identique, pourvu que tous les coefficients a, s’évanouissent, Savoir :

(2) À NN — An 10:

Or, il est très facile de démontrer que ces conditions suffisantes sont nécessaires aussi. À cet effet, supposons que les à + 1 nombres quelconques mais inégaux (3) LA L3, X3, ne M OU/E An+1

NIELS NIELSEN

satisfassent à l'équation (1), nous aurons les »? + 1 équations

CR TR AE ee rh

do 4} ia EE ne An + An —O;,

dors + Mari +... KGn-1 Anti + An = 0;

linéaires et homogènes par rapport aux coefficients ap, équations qui représentent évidemment une condition nécessaire pour que l’équation (1) soit identique.

Cela posé, il est évident que le- déterminant des équations linéaires (4) est différent de zéro, parce qu’il est égal au produit de tous les facteurs de la forme

= Chat P 74;

de sorte que les équations (4) entraînent nécessairement les conditions (2); c’est-à-dire que nous avons démontré les deux théorèmes suivants :

+ ; rer " 1 »

I. L’équation algébrique (1) est identique, pourvu que tous ses coefficients s'évanouissent, et seulement dans ce cas.

Il. Une équation algébrique du degré n est identique, pourvu qu'elle soit satisfaite par nr +1 valeurs inégales de l’inconnue.

Les deux polynomes entiers

(C5) f(x) = aoxt+ art ie + ap Tr ar,

(6) pr) = box + biz +... + b, ;x +0, sont identiques, pourvu que l’équation algébrique

CDN

soit identique, définition qui donnera immédiatement les conditions suffisantes et nécessaires

REP; “a aq = bg (0£g£n).

De plus, nous aurons cet autre théorème :

Il. Deux polynomes entiers par rapport à x, du degre n au