B CT) = ————— + RE
s=1 re (x + rer — pari (— 1 JS (225— 2)B, (x + p)2-25+1 — pn—25s+1 (20) PACA TT EN EG Or S RME ITR ME RS PE CTIT EME ST — 0e ; (n +1)! (25)! (n—25s +1)!
où il faut supposer 7 Z 2.
L'analogie de ces deux formules et des formules (15) et (18) du paragraphe XIV est évidente.
Posant, dans (19) et (20), x — 0, on retrouve les deux formules , : A É L 1 récursives (12) et (13), tandis que l’hypothèse x — — - donnera,
pour une valeur paire de n, savoir, en introduisant 2» au lieu de n,
dt | (230) (— rl (2221) (222 9)B, = 1 + > Ca (9) at ats —2)B4, S—=1 .
sS="n"r (22) (1) 7r F1)E;=1+ > hares, 22S(22S— 2)B..
Si
Il est évident que l’on pourra déduire, en vertu des autres valeurs numériques indiquées dans le paragraphe précédent, un nombre
de formules analogues à (1)et (2). Nous nous bornerons à mentonner les cas suivants :
Appliquons les identités évidentes
nous aurons, en vertu de la formule de Taylor,
d’où, en additionnant,
3 B, Bu(r—2)= ER Fe Re: RS Fa CRE di =! DS (a —2s)! Bas ( E
L'identité
77 Et +(2+ 5 ave ) donnera de même N AL 1 \72—25 I ce (+ 4 Tr: ‘ (24) Bu (z— 2) DB (— x $ 4 (n— 925)! 2
Cela posé, soustrayons les deux formules (23) et (24), puis appliquons les valeurs numériques indiquées dans les formules (13) et (20) du paragraphe précédent, il résulte
(25) CL) f8c+ 0-2)
d'où, en posant + — 0, puis introduisant 2r +1 au lieu de n,
V=n—tl à an 22s+1— 5 (26) , (= iM AE, = > Nr) re Ta
XVIII — Développements divers.
Les suites correspondantes, étudiées dans le paragraphe XIV, nous fournissent un simple moyen pour déduire, d’un seul coup, une suite de formules, autrefois démontrées séparément et, par des méthodes différentes, et beaucoup d’autres.
A cet effet, prenons tout d’abord pour point de départ les deux identités
<® B,(æx) + B;(x —1) = Ar +2Ù
CAL (= 1)S—1 B, æn—?s PS, | (25)! (an —2s)!
SA <n—i NZ | 4 ; TS T # æn—25—1 CAES D CD PQ ee DER ERre na ad (25+1)! 225 (nm — 25 — 1)!
tirées directement des expressions explicites, trouvées pour les fonctions B,(x) et E,(x), nous aurons immédiatement les déve-
loppements n I LE de. DB,
(1) ent) = Er) + ET Ea-as(æ),
