ON CT

(2) DORE tee Bh-55(x).

En second lieu, les formules (3) du paragraphe XVI donnent de même

a æ I F SO) UE Ge 1Bn(=) = Eu(æ)+ > Enr) + °° 2 SEn-os(T),

<r+1 Es n—1 A — 4 : Sa PP (4) 2 Ba (T) = BG) + Ÿ TE pi (ae)

De plus, les deux expressions

on+i [5 (£) EN DE (E = )] 2 2

CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BERNOULLI ET D'EULER. 65 étant déterminées à l’aide des formules (13) du paragraphe XIIT et (4) du paragraphe X VII, il résulte les deux développements

Æ\ 12 COST "4 (—1Y$E, , ) 2n+1 En (©) =D reel Br25(x) + > = — "© Bn-251(x),

Ca nas ï —1}ÿ$E DoiTUE; (2) = 2 Er(x) + Dr En-os1(x) + D a En-25 (x), S=0 4 s—0 analogues aux deux précédents, mais plus compliqués. Cela posé, nous aurons à généraliser beaucoup les deux formules (24) du paragraphe XII et (20) du paragraphe XII, formules que

nous écrivons sous la forme

sS—=n

(+1) Ba-1(x) — (7 —:1) B,(x) =Ÿ B;(0) B:-s(æ), té S—0 ,

SSL (rx +1) E;(æ)—(n +1) Ers1(x) => Es(o)E;-s(x), Ss—=0 En effet, soit y une variable complexe quelconque, je dis que nous aurons ces deux formules beaucoup plus générales : EN

RER Er) Br) —(n—1)B;(r + y) > Bs(y) Br-s(x),

=) | Ne (8) (+y +1)E,(x+y)—(n +1) Enr +y) = ESCy)Er=.(x): $=0

La démonstration est évidente, parce que les polynomes qui figurent aux deux membres des formules en question forment, regardés comme fonctions de y, des suites harmoniques, dont les éléments sont égaux, deux à deux, pour y — 0; c’est-à-dire que les formules (3) et (8) sont des conséquences immédiates du théorème VI du paragraphe XI.

Il est évident que les formules (3) et (4) sont susceptibles d’une généralisation analogue. En eflet, les formules en question se pré-

sentant aussi sous cette autre forme

Sn sS=n à) re ne (2) =Ÿ E,(0) Ba-s(æ) = D Bs(o) Eu-s(æ), == 0! s—=0

NIELS NIELSEN

on aura immédiatement la formule beaucoup plus générale

. s=n 7 Ro Bi (7) =VE, (7) 0) s—=0

Cela posé, introduisons dans les trois dernières formules 27 au

lieu de n, puis posons y =— x —1, il résulte, en vertu des équations fonctionnelles (1) du paragraphe XV, les trois identités très curieuses S—=27 ( à ( . )B À : —1)"(2n—1 s=2n ( T . s = EN L (1) > (— 1} E,;(x) En æ — (on)!27+2?

s=0 4 s=2n 1 B F/ ro) (12 > CP Es(æ)Brn-s(æ) = RE SOS s=0

Appliquons ensuite les valeurs numériques trouvées dans le paragraphe XVI; il est évident que l’on peut déduire, à l’aide des formules précédentes, un grand nombre de relations entre les B,, Th, Es. Dans ce qui suit, nous nous bornerons aux plus simples des relations susdites.

Appliquons tout d'abord les trois dernières identités, l'hypothèse x — o donnera, en vertu de (10) et (11), les deux formules élégantes |

(13) (2nr +1)Bh= D En LS ES LE | S=n—1

(14) IE Ÿ pe T1 Tn-s S=0 *

dues à Euler (!) et trouvées déjà dans notre introduction des B, (æ) et des E, (x) respectivement; la formule (12) donnera une trivialité pOur — 0:

(1) Anstitutiones calculi differentialis, p. 416, p. 495. Petrograd, 1795. — Opuscula analytica. t. IL, p. 266, p. 270. Petrograd, 1785.

CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BERNOULLI ET D'EULER, 67 . . et Soit ensuite > — — =, il résulte de même à on GS) Lan—sam+agme À (9%) (ue) 2)B,B,., SA ï S—=n—1 (16) Tn+i— 2En — » (1) EsEn-s, S=1 S=n—1 U7) (=D a)B, = À (27).

s=1 F Quant aux formules (5), (8), (9), les hypothèses x —0, y —=— = donnent s=n—1 (8) [(an—n2%—{n]B= Ÿ ou (222 225#1)B,B, a s=1 S—n—1 Si NET (19) Ep+i— Ty — > bete En, S =0 S—=n—1 (20) tan DD: Tri > pers) (2272-25 0 )Bn T4; S=—0

la formule (16) est due à Scherk (‘). Multiplions par 22? la formule (13), puis additionnons et soustrayons de (18) la formule ainsi obtenue, 1l résulte respectivement

s=n—1 2n (21) (2227+2n)B}= > (a )eBeBs EF | | s=n—1 SN /2n—1 ; (22) Ole > ( sd JarBeT, | I . ; Posons encore, dans (7), x = 0, y —— 7 il résulte sS=n—1 ; 2n O3) Gn+nE-(amær)e@mnBe À (97)aBE.