XX. — Des produits B,(x) B,(2), B;(x) EL(æ), En(x) Ep(æ

Dans le paragraphe X VIIT, nous avons donné des généralisations très étendues des formules (24) du paragraphe XII et (20) du paragraphe XIIT, formules que nous avons à généraliser ici d’un autre

point de vue.

À cet eflet, posons, pour abréger,

Tale), fix) =,

LT IA Jus

| se )= 2 Got

3 t ï 4 1# CHAP. IV. — LES FONCTIONS DE BERNOULLI ET D'EULER. 75 et So (æ) —= O0 ; <nr—1 (2) PM | he 1 T æn—2s—1 ste) DE DTen at dd (25 +1)l225#2 (nos 1)!

nous aurons, en vertu des expressions de B,(æx) et de Et),

PAPER AC PRES (3) 2 Ne — A ê :

Tu | DAT PACS EEE . I LA \EX E,(x) = x + Enr(T), (4) 1 æn HS En(x —1) — > ni 8n(t),

ce qui donnera immédiatement

DR Ce tr Done var) et),

CPL Nr)!

P nr, (6) Ex(z)E,(æ) — En(x —1)E,(x — 1) = ee ter, a : TP fn(r) al gp(t) (7) Ba(x) Eb(æ) + By(x —1)E(x —1) = MTS ER pers Ve |

Cela posé, la formule (5) donnera immédiatement un développement de la forme

\ ; [n + , (8) Ba(æ)Bo(a)= Kant (7, ) Bh+p(x) £?

— 1})—1B + p —92$—I AL C7 ë ) Bh+p-25(x) (ares, Vlr

s—=1 ££ — 1} —1B, —25—I SEL D) io À } Bnsnai(e),

os) À n—1

où la constante K, , se détermine comme suit : Cherchons les dérivées des deux membres de (8), puis appli-

quons l'identité

D:[BA:(x) B,(&)] = Bx1(x) B,(x) + Bilx)Bh-1(x),

76 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS. nous aurons, en développant, d’après la formule (8), les deux produits qui figurent au second membre, Ky1,p + Kx,p—1 — 0; ce qui donnera Kh,p En Kp+1,p—1 en) Kent

Or, posons, dans (8), p —1, nous retrouvons la formule (24) du paragraphe XIT, ce qui donnera

de sorte que nous aurons le résultat général

RER (a+p=2k+i),

) (= 1)2+# Bz K Et De | HE (24)!

(ose (n+p=ak),

où Æ désigne un positif entier. |

Soit, dans (8), x égal à un positif entier, la formule ainsi obtenue est due à Lucas (!), tandis que feu M. E. Lampe (?) a étudié des formules plus générales de ce genre.

Posons, dans (8), p — n, ce qui donnera 4 — », nous aurons

es l B} :

(10) PB) ee + (97) Ban(æ)

(— 1) 1B, /2n—92s—1\ nr (TE) Ban),

tandis que l'hypothèse p — 7 +1 donnera

fan +1

(11) Bn(2) Bar(z)= | À } Banta(æ)

(—1)1B, fon —2s+1 + ( n À Bincesi(æ).

(1) Nouvelles Annales. 2° série, t. 14, 1875, p. 487-495. (*) Journal de Crelle, t. 84, 1878, p. 270-272.

* La formule (6) donnera de même

ePp=lA M?

= K HAS (ar Nn+p—2S—1 B

TOM À fas+nianes ñ ntp-t(®) S= 0

V2 (—1}T,. R+p—25S—I + > re ( 1e Tee)

où la constante K, , peut être déterminée par la méthode appliquée dans le cas précédent; on trouvera de cette manière