HAL T SE

| SRE (n+p=32k+i), | — G@k+i)lo##2

où Æ désigne un positif entier.

Soit particulièrement, dans (12), p=n, p—=n#r—+1, nous aurons respectivement

Ty+1

(COMARIEAILE (on Hilo?

en—1

CR er os 5 2 os (LP), D EE ( n ) 2n—2s\T ) s=0 ES (15) En(t) Enr(x) =

—1)T 2n—2S+I\ k rt ( Ban-2s1 (2).

Css n +1

Quant à la formule (3), nous aurons le développement

Fa | (16) B,(æ)E,(x) = fe ni Ex+p(©) = (rt B, HEURE FRAME + DIETIUER p ) n+p—2s(T) s=I <P =?

(= 1) 1TS re + p — 2) DÉPRCÔE FD

posons, dans cette formule, ñ = p + 1, puis appliquons l'identité

de B»h mp, 221 2m 2m

nous aurons la formule la plus simple de ce genre

(17) Brn(z) Er(x) = en E:r11(2)

PS EE 2R—2S+1\E es (25)! ñn Dr 25 FAN = s=1

Il est évident que les formules précédentes nous permettent de déduire un très grand nombre de formules récursives non linéaires pour les B,, T,, E,, formules qui sont à regarder comme les inversions des formules trouvées dans le paragraphe X VIT.

Or, nous nous bornerons à indiquer les plus simples des formules en question.

Posons, dans (10), x — 0, puis remplaçons » par 2n, respectivement par 22 +1, il résulte

gn\ PRIE SUR 4n\ f4n—92s—1 GT) Si] Be (Bi) COM IE En +02 fe An +92\ f4n—2s4#21)\ Go) (Cr) tr] Bmu=2Y( 25 )( on } Be Ban-s+-

La formule (14) donnera de même, pour x — 0,

Go) Tu= (nn (ft? )Ts

2n S=R ; ân —1I En —2s — in? T pe. ‘ 1—2$ di 2$ —I ST 1 à s Bin Si== 11 S=n—1 F n+I An —2S—1I (21) rer NN Â À { otn—25T,. ,B cd \25s+1 on ete S=0

P S [e L' — — & 1S osons, dans (11), x — j’ puis remplaçons r par 27, respec-

uvement par 2% + 1, il résulte

an +1 an (2) Car )eme( it) (am 2)B,E, SA AR —2$+TI HD) Det on ) 245 B,Eon s,

in +3 { its (23) ( >) En = (D r)@m Rue,

27 + 27 + S—=n—+i fn+2\ /4n—2 ON" AU 4 s +3 BE él 25 DR STI SASHA

G5) (nr) Ten D (CET auBeTaous

On voit que les formules (22) et (23) ne contiennent pas les n — 1 premiers nombres d’Euler et que les formules (24) et (25) ont une propriété analogue relativement aux coefficients des tangentes, tandis que les seconds membres des formules (20) et (21) ne contiennent que les x» premiers des coefficients des tangentes.

Les fonctions f,(æ) et ga(æ), introduites dans les formules (1) et (2), nous permettent d'étudier des problèmes dont un seul est proposé par M. N. de Sonine (!).

A cet effet, je dis qu'il existe une identité de la forme

S=7nr

(26) B:h(x) =>, an Br (2)

où les #,, sont des constantes faciles à déterminer.

ts

(:) Sur les polynomes de Bernoulli et leurs applications, p. 16, Varsovie, 1888

(russe).

En effet, on aura immédiatement, en vertu de (5),

s=n—1 , æ?n-1 NPA, FT) (27) node Cr 6 A) Ci 1) (rs 0)"

et il est évident que le second membre de cette formule ne contient que des puissances de x de la formé x"-2?71, de sorte qu'il est possible de déterminer successivement les 4, ..

On trouvera tout d’abord nn!

(28) An,0o —= »

Cr

et généralement la formule récursive

(—1)Pan,p Fe (—1)San.sBp-s pi(n—p—i)! (n—s—1)l(op—2s)\(n—2p+s)l"

CO res

où il faut supprimer, au second membre, les termes dans lesquels n—2p+s<o. Le coefficient «,, se détermine de (26), en y posant 0.

Cherchons ensuite les dérivées des deux membres de (26), nous aurons de même

(30) Brn1(æ) =

D 24n,s Bn—s(T) Bn-s1(æ). Les coefficients qui figurent dans les deux autres identités $S=nr Ni Bin) = Brel Ens(æ)f,

Ss—=0

$S=n a (32) Esn(x) SON. Bh-s(æ)En s(x) s$ =0 se déterminent par un procédé analogue.

En effet, on aura, en vertu de (6) et (5), respectivement,

(B3 AT ENS RE CHTUEAUN et (n —"s)l > S—=0 Ù 21 É n—s eee ” (34) = = EM fnes(r)e, rire gr (ee) (an)! nd Vn,s et TRS »

EVE 4 Le ; ROLLER Li < P et En D’ EULER. x LE

ent a :

Cherchons SRE les dérivées des deux enr de cn, il

3 Barr) De 2Yn,s En-s(æ) En-si(x). | | É FA s—0: sh F0

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