XXI. — Propriétés fondamentales
Plusieurs des résultats, trouvés dans le Chapitre précédent, se présentent comme des conséquences immédiates de l'équation fonctionnelle de Jacobi; généralement, les polynomes entiers
(1) fn(2) = AnALt+ anti. ann 1T Enr assujettis à satisfaire à la condition (2) fi rt) =fr(2)
mais étant du reste aussi arbitraires que cette condition le permet, jouent-un rôle essentiel dans la théorie les fonctions de Bernoulli et d'Euler, de sorte qu'il faut étudier plus amplement de tels polynomes, désignés, dans ce qui suit, comme pol/ynomes symétriques.
Cette définition adoptée, il est évident que les B,(x) et les E,(x) sont des polynomes symétriques, quel que soit l'indice ».
: I Eh 22 Introduisons maintenant dans (2), t—=0, æ—=-,; il résulte > respectivement (Ar C— 1) = (—1)*fh(o), (3) : 1 FO ES = (ES 1)2 = is PA s ( ) fn =
ce qui donnera, en remplaçant » par 2n +1, n ll (4) Jonii re — O0;
die & . , e . , >’est-à-dir 1 1 Sy Ë ë Ë li Té c'est-à-dire qu'un polynome sy métrique quelconque d’un degré
: : ; SR I impair est toujours divisible par æ + —.
Quant aux dérivées de f,(x),
S—p l FES n — 5 mpiie (=> à — sance S'=0
il résulte, en vertu de (ads
RNA AR EEE 22 ce qui donnera immédiatement PAPER) to),
TN
RE “ER a
ou, ce qui est la même chose, -
S—p—1 S< S OR Sà 2 (6) [i—(—1)]las,p= > Œux(, ,}ans (P21), S =. $ i S—2p+1 à : n —s À (7) = > DEN ES ee (p20o).
Soit, dans (6), p = x, 1l résulte pour une valeur paire de », savoir en introduisant 27 au lieu de n,.
(8) Ain,o + Aan2 +... + Aon,on-2 = on TT ans Te. an 2n—ie
Les formules (5) représentent la condition nécessaire et suffisante qui doit être remplie par les coefficients d’un polyÿnome symétrique. En effet, 1l est évident que la ‘condition susdite est nécessaire;
d’un autre côté, l'identité I 1 \ æ=—-+|r+ 4 > \ >
donnera, en vertu de la dernière des formules (5),
72 25 anis + VE 27 (R-25) À g)= > =—— NES (9) Fn( ) 2 (n—32s)! 2 >)?
ce qui conduira immédiatement à la formule (2), c'est-à-dire que la condition susdite est suffisante aussi.
- Quant aux équations (6), on voit immédiatement qu'elles: ne
sont pas indépendantes entre elles. Pour juger de la portée de ces conditions, nous avons à étudier, d’un autre point de vue, l’équa- LA
tion fonctionnelle (2).
A cet effet, introduisons, dans l'équation en question, —x au
lieu de x, 1l résulte
S=T fn(æ—1)=(—-i)fit— x) DE Ts Le, à s—=0 ce qui donnera immédiatement - n—1 — a (10) fn(æ)—fn T1) = 2 Uno Pi ae s —=0 <n (11) fn(e) fre 1) — 2 An,2s TS, s=0
et 1l est évident que ces équations aux différences finies représentent des conditions nécessaires qui doivent être remplies par un polynome symétrique.
Cela posé, nous aurons les développements de f, (x) d’après les fonctions de Bernoulli et d’Euler :
RL ES. à: 1 Le “ (12) = În(æ) = > (n—92s—1)! anesr1Bn es(T) + Ka, S—0 Len = J LT L (13) re X (n—as)lanss En-ss(æ), S== 0
où nous avons posé pour abréger
S—=T7r OU DIS GAS (14) KR =N ( ) LS md SA sS—=0
ce qui est une conséquence directe de la formule (9) du paragraphe XIX.
Or, remarquons que les polynomes E»»s(æ) satisfont tous à la condition (2), nous avons donc démontré le théorème suivant :
7 (rie Û , » .
L L’équation aux différences finies (11) représente la condi-
Lion suffisante el nécessaire qui doit être remplie par un poly = nome 4 métrique quelconqrie.
ne : l'équation (10), elle représente évidemment une condition or mas on conclut de Ia formule (12) que cette . tion n’est pas généralement suffisante aussi.
En effet, soit, dans (12), # un nombre pair, les deux membres de cette formule satisfont évidemment à la condition (2), ce qui s’accorde bien avec le fait que /a(x) +, où À désigne une constante quelconque, est un polynome symétrique, pourvu que /,(æ) le soit.
Dans le cas où n est supposé impair, on voit, en vertu de la dernière des formules (5), que fn (x), définie par la formule (12), n'est symétrique que dans le cas où
car toutes les foncüons de Bernoulli qui figurent au second membre
: . [l s’évanouissent pour & = — —
Soit maintenant /,(z) un polynome symétrique quelconque, les deux développements (12) et (13) existent et nous aurons, par conséquent, en égalant les coefficients de la même puissance de x,
LA
dn0—= = ni); rt h Det 16 , $ < Ç ) HE UN 0 TL \B (— 1)? Gp Se Antp}= DA Ne LE 2p—2s p—sAn,25+13 #r . re S=—=p N (— 1} ( A 2 à (17) œr)PAr,2pr1= D2p—25+1 D po seit p=s+1Œn,2s-
On voit que ces deux systèmes d'équations linéaires et homogènes entre les coefficients &,, sont inverses l’un à l’autre. En effet, les formules (16) permettent de déterminer les 4,,, à l aide des
An) n,3> +.:3. n,2p11 An,2pHl)
. ; « . ee & , . x va tandis que (17) exprime leSla al aide des And Œn,2 +. An,2p;
c'est-à-dire que le dernier coefficient, savoir 4,,, ne peut pas être déterminé, à l’aide des équations susdites, pourvu que # soit un
nombre pair, ce qui est évident du reste parce que ce coefficient peut toujours être choisi arbitrairement.
Cela posé, nous venons de démontrer les deux théorèmes suivants :
IL. Un quelconque des deux systèmes d'équations équivalentes (16) et (15) représente tes conditions suffisantes et nécessaires qui doivent être remplies par les coefficients a, d’un polynome symétrique quelconque du n°" degré.
HT. Le polynome symétrique Jn(z) = An,0 2! + CAE Re He... + Ann 12% dn,n
est parfaitement déterminé, pourvu que tous les coefficients a, ss sotent Connus.
De ce dernier théorème on conclut immédiatement que le système d'équations linéaires et homogènes (7) est équivalent aux deux systèmes d'équations obtenues de (6), en y supposant p pair ou impair. De plus, un quelconque de ces trois systèmes d'équations équivalentes représente les conditions suffisantes et nécessaires qui doivent être remplies par les coefficients d'un polynome symétrique quelconque.
De plus, les formules (16) et (13) montrent clairement qu'il n'existe aucun polynome symétrique, abstraction faite d’une constante, qui ne contient que des puissances paires ou des puissances impaires de la variable.
En effet, l'égalité a, ,— 0 entraîne toutes les autres égalités de la forme 4, ,— 0, pour 0£p£n—1.
IL est évident qu'un polynome symétrique entraîne des formules fécursives pour les B, et les T,: Inversement, prenons pour point de départ la formule récursive des nombres de Bernoulli
==} / S (18) > An,sBn-s= Un,
le polynome S=n—|!| (19) TAG NX rare ss)a Br)
en .- «
est évidemment symétrique, et nous aurons, en vertu de (18),
(20) TOME 1)—10,, Soit ensuite S=n—1!
(2 À D dass Le SE Ba S =0
une formule récursive des coefficients des tangentes, le polynome
S—R 1 N ONE e
(22) PMR, ES An.s Eon-2s -1(&) S'=0
est symétrique, et nous aurons, en vertu de (21), (23) e{ol) = (—r1)2-18,02n,
Cela posé, il est évident qu'il existe toujours des polynomes symétriques qui correspondent à une formule récursive pour les B, ét pour les. T;.
Revenons maintenant au polynome symétrique général f,,(x) d’un degré pair, puis posons
| 7" (2%) Psy == 22H e IE nous aurons immédiatement S— 270 1 (C2 on) Pin — 22% Gonon = o (r)S2Sdon,s- A) : Der er 2:
Posons ensuite, dans (13), æ —=— -; il résulte de même S—=n—î1 (26) Pon — 2°7 Œin,in — V (— 1)S 923$ ons BE 7 I . du Quant à la formule (12), posons 4 —0 et æ—-—;; puis sous-
trayons les deux équations ainsi obtenues, nous aurons de même
AL \ (— 1) S Qon,25+1 T (27) Pan — 22% Gon,on = ET oi n—s*
