XXII. — Les parties principales d’un polynome quelconque

Soit (a) J(&) = anor"+ ana r" 1 Le e + An,n1X + n,n un polynome quelconque du n°" degré, et soient (2) dr); Lp1(T) pr), 501620),

n +1 polynomes symétriques assujettis à satisfaire à la seule condi-

tion que w,(x) soit toujours du pi" degré, il existe une identité de i \ Le

la forme

(3) Ja) = %0Pn(T) + Mbn1(r) +...+an191(T) + anVo(T), où les 7 +1 constantes 4, sont parfaitement déterminées. Posons ensuite

f1(&) = aopn(T) + an or) Fo vna(r) +...

(4) | Jar) = Pn-1(T) + 2sPn-3(T) + ds Pn-s (%) +1...

les deux polynomes ainsi définis sont symétriques ; on voit que f, (x) est toujours du n°" degré, tandis que le degré de f,(æ) est au plus égal à 7» — 1, et de la forme 7 — 2p — 1.

Cela posé, l'identité

(5) f(x) = fitæ)+ fit), urée directement de (3) et (4), donnera par conséquent (6) —Df(— x —i) = f(x) — fix),

d’où immédiatement

f(x) +(—nef(— x — 751) AG ge è 2 (7) f(m)—(—x1)f(— x — 7) RUE) SUR En PEER

ce qui donnera le théorème suivant :

1. Développons, conformément à (3), un polynome quelconque f(x), les deux polynomes Ji(x) et fix), définis par les

formules (4), seront toujours les mémes, quels que soient les polynomes symétriques Om(T). | . Ce i

Dans ce qui suit, nous désignons pour abréger comme parties principales de f(x) les deux polynomes f,(æ) et f(x), définis par les formules (4) ou (5).

Sdit maintenant ch jan polynome symétrique, nous aurons, en vertu de (6),

ce qui donnera

; n—1 (8) Lypri== 0, Op ;

conditions qui sont équivalentes, quels que soient les polynomes symétriques 9» (x).

De plus, nous aurons le théorème suivant, déjà indiqué dans le

paragraphe XX :

IT. Sort f(x) un polynome symétrique du degré n, et soient PA Pre pr ilZ) en.

des polynomes symétriques quelconques, d’un degré égal à L'indice. il existe une identité de la forme

f(x) = 20pr(2) + On—o(T) + (TL) +...

où les coeflicients 4, sont parfaitement déterminés, pourvu que Les polynomes susdits soient donnés.

Quant à la détermination des valeurs principales d’un polynome quelconque, elle est identique à la détermination des deux expres-

sions Ha) =e (rx) Posons. en effet, S=h—1 f(æ) — f\ RENNES D BAS SD

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