XXVI. — Propriétés fondamentales

Nous désignons comme régulière une suite harmonique [fa(æ), an], dont les éléments f,(x) sont, pour une valeur quelconque de », des polynomes symétriques.

Cette définition adoptée, il est évident que les éléments f,(zx) d’une suite régulière satisfont aux deux conditions

(1) (—i)tfn(— x —1) = fr(x) + (n20), ; (2) TAC) = in A) (ner):

De plus, remarquons que l’élément général de la suite régulière se présente sous la forme

&oT”! a; æ—! ANNE D Ar it , (3) Jar )= + ———— + + 2 — En PT Lu == Ans n! (n—1)! Cr —= pl Al :

nous avons à introduire dans les formules du paragraphe XI

$ . € p (4) An,p = mere

ce qui donnera tout d’abord

S=p—1 J (œi)a (65:) smile NÉS pet) < si (p —Ss)! Fa s =0 P ) Re \s 6 EN sù) 2" 2 (6) 0 Pr PTT L (p 20):

Remarquons maintenant que le groupe des formules (6) est équivalent à chacun des deux groupes obtenus de (5), en supposant pair ou impair le nombre p, nous aurons le théorème :

1. La suite harmonique Wet) an] est régulière, pourvu que ses éléments satisfassent, quel que soit n, à une quelconque des conditions

{fan = fn(o), (5) fan 1) =— fon(o),

fina(— 2) = 0.

Les équations aux différences finies (10) et (11) du paragraphe XXI deviennent ici

<n-1 8) je HE: Les \ dos TT °S—1 (8) Jn(x) Jn(z—1) KA Rep T CE) sS—=0 <2 2 A Es 2 N As GES * (9) fn(z) + fn(z —)1) 2tn—sst (n2o),

ce qui donnera les deux développements

As5+1 Bn—2s (æ),

(10) ae)

LA wi

[ (11) AS be De ass En (L)s

valables pour une valeur quelconque de x, parce que les polynomes f,(x) forment une suite harmonique.

Cela posé, nous aurons de plus, en vertu de (10),

| ao 241,

(12) 72 ( l \ > (— 1} @541 Bn-s Le : rt == eme meta | ( 1) 2e : on) ES 25)! ?

tandis que le développement (11) donnera l'inversion de ces for-

mules, savoir

S=7r (y NUE Mesa (13) (— 1)" Gont1 = To2u-isti L md (2n— 925 <+i1)! 224284

Les deux groupes de formules (12) et (15) étant valables

108 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS, pour 721, respectivement 7220, nous aurons le théorème

IT. La suite régulière | f(x), a,] est parfaitement déterminée, pourvu qu'une seule des deux suites ordinaires

(14) Œo; da, ds; CNCACT, Agn: .… (dy 0);

(15) CO RL EN PR NT PTE (& 0) soit connue.

Soit, dans la suite (15), &angs —0, n 21, la suite régulière correspondante a l’élément général (16) nl 41br en) tandis que l'hypothèse a,» — 0, n 21, donnera (17) fn(z) = 2@ E;(x),

ce qui montre clairement que les fonctions de Bernoulli et d'Euler jouent un rôle essentiel dans la théorie des suites régulières. = Il est évident qu'une suite régulière quelconque conduira toujours à des formules récursives régulières pour les B, et les T,. Soient inversement |

a CM CR al LEE ee

Bo, Bi, D, Ste Gr ...e

deux suites infinies, telles que nous aurons, pour » = 1, les formules récursives régulières

sS—=n—1 - D S—0 puis posons ao = 2 fo, (29) ain = 2(an+ En),

Œin+1 = An,

les formules (12) montrent clairement que la suite harmonique [fa(x), au] est régulière, de sorte que nous aurons, en vertu de (13), les formules récursives régulières pour les T, :

œ LS Cas + B5) Tr —$+1

(21) = (—1)ta;.

En second lieu, supposons que les deux suites (18) donnent les formules récursives régulières

1YasTh sr 22 = —— ——————————— —(—,)hn( Æ ( ) (2n—9s +1)! 22-2541 A 1)*Pr (nS0), s=0 £

puis posons

(23) Ain = An, dn+1 — Ba;

la suite harmonique [f,(x), a,| est, en vertu de (13), une suite régulière, de sorte que nous aurons, en vertu de (12), les formules récursives régulières pour les B, :

: S=n—1 À N (=) Br ARE = L DTA (3) mi ‘(2n—»2s)! HE 2 Ba ]- Ss—=0

Cela posé, il est évident qu’une formule récursive régulière pour les B, ou pour les T, correspond à une suite régulière, ce qui montrera clairement le rôle fondamental que jouent les suites régulières dans la théorie des nombres de Bernoulli, parce que la plupart des formules récursives connues sont des formules régulières.