DE
La où nous avons supposé #£m, sinon nous pouvons supprimer les termes qui correspondent à s £ £ — m.
Cela posé, il est évident que les expressions (3) et (4) ne sont autre chose que des différences de l’ordre x prises des expressions de la forme
PEN r ie Me D ER Wa) = a(a—1)(a—2)..,(a— 7 +1) [Lo(x) =].
Soit maintenant r 2 1, on aura immédiatement A @r(2) = p(2+1)— p(a)=—7r 9r+1(2),
Abr(a)= ra +i)— (x) =r bia), d’où généralement
Tor(a)=(—t1)r(r +). (ren — 1) Prkn(z) CRETE AU ACDE 0 (o£r£<n—1), AFVr(a)=r(r—1)...(r—n+nb-n(a+n) (rèn), ce qui donnera finalement
: | Cin+g—s)'(m—g)lasæmtn-s#i FD )\= = Tr)re ——— ——— — ————{]—— (5) CHE DS (g—s)l(m+n—s+1)!
S=0 SNL Q
, +s FN (nr Hs)! ii : ) Antg+s+1T-9—S s=0 ,
et S=m+q 5& ; m+q\ (6) G(æ) = Y (m+s)( ; Tjan-gesamtes, $ =0
Cela posé, il est évident que, dans F(x), les coefficients (7) Ag+15 Ag+2, +.., An+q
sont disparus, tandis que, pour g£n —1, G(x) ne contient pas les coefficients
(8) &o; Œi, LER .….; An—q—1 ;
soit, au contraire, g — ñ#, on voit que G(x) contient tous les coefficients ax qui correspondent à o£k£m + n.
Le cas spécial, où la suite harmonique [f,(x), an| est supposée régulière, présente un intérêt particulier. En effet, posant, dans (6), ZT = —1, puis appliquant légalité
fn(—1) =(—i)ta», on aura le théorème intéressant :
I. Les éléments ax de la base |a,| d’une suite régulière quelconque satisfont aux deux formules récursives
(9) >: (—iÿ(m+n—g—s)! Fe "RTL OM +] An+n-s+1
Dit gsm gl (g—s)l(m+n—s+i1)!
(10) D'i(mæn+g—s)!
x [c- 1)" () —((" ail Ayntn-s = 0;
où les sommations sont à étendre jusqu’à ce que les coefficients binomiaurt qui y figurent s'évanouissent tous deux.
On voit que ces formules récursives sont généralement incomplètes toutes deux, parce qu’elles ne contiennent pas les coefficients ax indiqués dans (7), respectivement (8).
Le théorème que nous venons de démontrer est très remarquable, ce me semble, parce que la base [a,] est parfaitement déterminée, pourvu que tous les a, ou tous les &,x,, soient connus. De plus, il est évident que le théorème susdit est d'ure généralité extrêmement grande, nous le verrons du reste dans la suite de nos recherches; c'est pourquoi nous nous bornerons à considérer ici les deux formules récursives réguhières
sS=n—1 B — Î S Ace Dos A >’ (11) Ci) asBr = (— 1) Ba, (2n — 95)!
s=0 Sn T (nr) —s$+1 : A (12) 2 (an —19s +1)! 227—25#1 î
Posons, conformément aux formules (20) et (23) du para-
graphe XX VI,
(13) ao = 2 fo; lsn—= 2(an + Pa), Œon+1 — Yn; respectivement (14) Aon = Àn) lei — Bas
les nombres a, et a, ainsi définis satisfont aux deux formules récursives incomplètes susdites.
XXVIII — D’autres formules récursives générales.
En appliquant l'identité évidente TP = GP A(T+1 — xP- = " ième à on peut représenter le polyÿnome quelconque du ni" degré (1) J(x) = an,0T" + RAD RE dr rit ar
sous cette autre forme
Srn—2
(2) f(x) = g(r + 1) D: À , ms 2 An1(æ mo) 0] ASS
où il faut supposer nr ? 2, tandis que les coefficients A, se présentent
CHAP. VI. — LES SUITES RÉGULIÈRES. 113 sous la forme S—p /% (9) , AY — > ture
ce qui donnera particulièrement
(4) \ An= f(—1), PRE) fr
De plus, il est évident que l'égalité (5) np 0 entraine cette autre (6) À p = — À hs el inversement.
Posons ensuite, conformément à (2),
(7) ACL AS DS Li b(x) — > A,æx" na.
ce qui donnera, en vertu de (2),
(8) f{æ)=(z+De(z) + A, (9) f(æ)=r(x + nr) + A; (x +1) + A»,
el nous avons à développer, d’après les fonctions de {Bernoulli et
d'Euler, les deux polynomes entiers o(x) et L(æ) ainsi délinis. A cet effet. appliquons la formule (14) du paragraphe VIF, flet, appliq la le (14) du paragraphe VIT
sf) CT (C2)
nous aurons, en vertu des formules générales du paragraphe XIV,
SAVOIC :
pour les coefficients y,» des deux développements
(10) o(æ) = > nr) Yas(n—s—2)1B,;.(œ) +1) lun; s=0 à S=nRr—S (HUE > (— 1) Yn=,s (2 — S — sn) Based) + (— 1) 2 une, Si 0)
NIELS NIELSEN
les expressions suivantes :
S=p lens D: (Sir ee mo | res (oSPpER—E) Ss=—=0 HE) S—=7n—A1 Norte > (— 1) Ans An,s S—0
où nous avons posé pour abréger
Le même procédé donnera les développements analogues
sS—=n—1
(14) (DT) >» (— 1} Ons(a—s—1)' En six s—=0 sS=n—2
(15) V(æ) = à AR AT RS td ie s=0 -
où il faut admettre
LA ARS Ÿ F/n—Ss\ 24 NET (16) Ôn,p — (—1)° HI |Ans (Oo£p=n—1).
; > Free S=0
En se rappelant les expressions des coefficients %,,
figurent dans les développements de f(x), d’après les fonctions de
et 62; qui
Bernoulli et d'Euler, et qui sont indiquées dans les formules (9) et (16) du paragraphe XIV, on aura immédiatement
Vn,p = Xn,p— À p (0oSpzn—2),
Ôn,p = Bn,p+ Ap (o£p=n—).
Dans le cas le plus simple, où le polynome donné f(æ) se réduit
à une seule puissance 2#+t, nous aurons pour la fonction
