GRAS (— 1)2 T HI

les développements donnés déjà dans le pa ragraphe NIV.

Soit maintenant le polynome donné f(x) un polynome symétique, on aura, en vertu de (4), pour » pair,

An =f(o) — f(—:1) = 0, NE LA ce qui donnera, en vertu de (9), (18) J(z)= (x + Y(r) + ann.

Dans le cas où » est un nombre impair, on aura, au contraire, Anpn—=—2f(—1)=—2A;—=2@n, d’où, en vertu de (9),

(19) f(x) = æ(r +1) dx) + an,n(2% +1);

c'est-à-dire que le polynome (zx) est toujours un polyÿnome symétrique, quelle que soit la parité de ».

Cela posé, nous aurons, en vertu de (11) et (15),

MAI CIERU” Ôn=1,9p+1— 0, el, pourvu que 7 soil impair, Un—1,n—2 = 0; c'est-à-dire que nous venons de démontrer le théorème :

1. Soit Le polynome f(x), défini par la formule (1), un polynome régulier; les coefficients a, satisfont, pour une parité quelconque de n, aux formules récursives

S—p L (20) Denf(lir)+enelans0 GS S—0 :

soit n un nombre impair, oR aura de plus

Sr 2

(21) > (—1) Ans Ans = 0.