LU

Soit par exemple f(x) = B,(x), on aura ces deux formules

rÉCursives curieuses

ne SCT NEO S = 1 CT) ee] -[GEI eo

dont la première nous conduira à des formules bien connues, formules que nous avons à étudier plus tard et d’un autre point de vue.

Quant à la formule (9), posons pour abréger

n — 2 In,0o = 1; Ln 1 — FRS S=p—1 1 (24) e D RU re ñ »

Œnes = — — 1}?—s—1 br n,2D+1 = (—1) RUES Re s—-0 An, 2p = An,2p+1;:

il résulte, pour 222, S—=Nn—2 DTA - (25) Bh(x) = —— An,sT 24 B,(o), ou, ce qui est la même chose, s ù . @(T +1) | (26) Br +1) = Cp > (— 1} an, (TX +1) Sr2 + B,(o), $s=0

de sorte que nous aurons

An,n—2 = A : B=1Ct0),

Aon,2n—9 — Aaron] — 0;

formules numériques qui sont contenues dans la formule géné- Le, rale (22). | En se rappelant que B;,(æ)— B:,(0) est divisible par æ?(x+1)?, on aura, en appliquant encore une fois la formule (9), cet autre

Le.

CHAP. VI. — LES SUITES RÉGULIÈRES. et 117 développement de ce genre Le, S—=2n—% 1 ’ a?(æ +1) } (27) Bon(æ) = AE TT TUE D CT open ee Ban(0), ! k S—0 x \ où nous avons posé, pour abréger, !

An,0 = 1) aha—= 7 — 0, Ar (28) ue ! Tr (—1Panp=p+1— np +Ù (—1)-1(p — 2s +1) (5)B \ S— 1 k remplaçons, dans (25), æ par — # —1,1l résulte le développement analogue Le, S=2n—% ; g æ(æ +1) Qu k (29) Ban(x) = D Car +1) Ban(o). DID. }S s=û De plus, la formule (25) entraîne les égalités numériques Es Ln,on—3 — CAEN (2n)! B;»(0), JS c d’où, en posant 7 +1 au lieu de n, S=n—1 : } ; “Jon PART En s 30) (n+i)(on+r)B,+ > CD(s }B=i ann) : DS?

s=n—1 DIV \ a n 2 ue F- \ Ne 22 — 31) (22 +2)(2n+1)B,;+ > (— 1} (282) (07 ns Bas = ( 1)" (an 3n—1). S—=9

On voit que la formule (31) est incomplète, parce qu’elle ne con-

tient pas le nombre B,,.

En second lieu, soit f(x) —E,(x), nous aurons les formules

récursives

ru 1 n

(32) n I LA SE pE EE » ( b) ( + (— 17 {° }Ts À P FI PA NON NE DS

, à (— 1}S fan +1\ ) T

(33) lon = D: Re en Nr s+1-

Posons ensuite

s=p—1 I Se 27 ER = —— TEE Bn,2p»-1 = ae 2 p—25 Sn Se ic:

) DÉRLE 2p 25 I (31) s=0 el I + Pr0 = = ? Bn,2p > Bn,2 — 1) il résulte Sn 2 æ(æ+i) - re 7) É P\ — 2 27—5- ?

(35) En(x) = PRET PS > Pn,s D?

s = 0 ou, ce qui est la même chose, s=2n—2 æ(æ +1) ; Se ME (56) RE at | > (— 1} Bns(r +1)22-5—2, 4 (Te :