XXIX. — Une suite régulière assez générale

Pour construire des suites régulières d’une forme assez générale,

nous choisissons, comme dans le paragraphe XXIV, 7? nombres complexes

(1) Uys 2, ss ce, An

qui satisfont, pour 1£s£n, aux conditions

02) As + An—s+1 = M,

où 7 désigne un nombre complexe quelconque, différent de zéro.

De plus, nous avons à adjoindre aux nombres 4, un ensemble correspondant

(3) Pr ES PEN Br

de sorte que É, correspond à 3, et que nous aurons, pour 1£SÈR; (6%) Bs = (—1)€ Ba-s+1;

Où €

est un nombre fixe; du reste, les nombres 6, sont à choisir aussi arbitraires que ces conditions le permettent.

Cela posé, il est évident que les polynomes

S—=n > a&s \1 Lptr)= cas (r+Æ) m Se 1

forment une suite régulière; car nous aurons

&s \P PRE — (LEE b (5) ês (-r-1+#) = (— 1) (e+ 2) .

On voit que le degré du polynome £g,(x) ne peut jamais -__ dépasser p et que la base de la suite régulière susdite est intimement! liée aux sommes

(6) = Bex9.

Supposons æ (7) RENTRER TE ee (Hyr1> 0), la fonction sn | (8) M) = Dee + 2)" s—1

est toujours, même pour r = 0, un polynome régulier du degré g;

car nous aurons, en vertu de (3),

(9) (— 0) D(— x —i) = (—i)E b(— x — 1) = b,(x); c'est-à-dire que

est toujours un nombre pair.

Posons maintenant pour abréger

(10) op = Vr+p

il résulte, en vertu de (3),

$ LE “ei er at S=== 0

de sorte que les formules (5) et (6) du paragraphe XX VI

donnent ici

“—=q—1 5 (12) [1 —(—1)9]ag= > ax ( 1 }mi=a = 0 =2q ; .

(13) 27H19 — > ÉAr u) 25 m21-S+1€&s; \ FES:

dans (12) il faut supposer gZ1; soit g = 1, nous aurons

Æ m(r +1) (14) D = —— «sg.

Quant aux développements d’après les fonctions de Bernoulli et d'Euler, on aura immédiatement

al ARR I / s+1 ( — = ——————— ee , Li sit Dener — Bg-2s(æ),

mie : * I LT ds 16 = B,(x =Y —— EE, (x.

(19) AN : (res) “28;

ce qui donnera

M(rH2g +1) Re = CD

(x7) Ag+1— < >q s—=q—1 È PESTE EI È e — (— I Can 8 se . 1) m?24—2s @os+i By, $s—=0 | s=q / c : (Fr+2q +1 m \ 29—25+1 (18) A2q+1 — CL ( r #1 s ) (2) as To-s+15 S=—0

dans (17), 1l faut supposer également g 21.

Posons encore

( bag= — Ÿ r+2 19 9 LS 1 = — US c— ? "+24 — SE “2 9 19) Oo SF Bs(2as— n)"+29 = (3 +92q)l2°4mt 1day(— >)?

il résulte, en vertu des formules (19), (20), (21) du para-

ee es = > fi k à à F

graphe XXIV, S—2q—1 ( / > LE en re (20) bag — 2% a>4 = Et " ( 2 “4 NOTES Ge — sS=q—1 ; 9 \ OL me (1) biy—atasg= Ÿ (rss ges 225 m9 ay, Ey SET |

>: 52 | x le ve m\29—2s—1 U :

EDS] Qu) s=0

En terminant le paragraphe XXIV, nous avons indiqué des ensembles spéciaux des nombres 4,; quant aux B,, nous aurons par exemple

ñ I Q — RE ; e :

Ps = I, CREER LEE = (") B= (if).

Dans ce qui suit, nous avons à appliquer plusieurs cas particuliers des suites régulières que nous venons d'étudier ici. XXX. — Exemple. Formules d’Euler.

Comme premier exemple des suites régulièrés que nous venons de regarder, nous avons à étudier les deux polynomes entiers

<P (1) f(o)= Du?) [tps (r+b-s) +s(e—£+s) l s =0 <P = 5 d) m@=LSCu(r) S—0

ñ ; P n+p—1 . : e: P e Û n+p=1 x [tps (e+£—s) + (—1)Ps|x > -s) |

où p désigne un positif entier quelconque, tandis qu'il faut admettre oénéralement :,— 1; c’est seulement dans le cas où p est un nombre

: É pre SE LE par, savoir p = 2q, qu'il faut poser = >

Quant aux deux polynomes ainsi définis, je dis qu'ils sont du degré n» et qu'ils forment tous deux des suites régulières.

Étudions tout d’abord le polynome f,(æ); 1l est évidemment du

122 PREMIÈRE PARTIE, — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS. degré », de sorte qu’il nous reste à démontrer l'égalité

pat

ou, Ce qui est la même chose,