DNS STD EN TE ENT PIE UE

(2) (Et TES a (7) (EE

Or, appliquons les identités évidentes

Eee) (Dee (Tr

la formule (3) est évidente pour p impair; car, dans ce cas, le dernier terme qui figure au premier membre s’évanouira. Soit ensuite p un nombre pair, savoir p = 24, nous aurons

2 q "+ 2q à (1) =102) (1) ÉOLIEN

ce qui donnera sans peine la formule (3).

Posons maintenant Sr EST æ) = ) fn Zur

nous aurons

ln) ES

.(E) Leo (ed (e =]

CNET ÉSARES

PMpr 2M,,r#1 E RCE ER ae

Quant au polynome or(x), il peut être traité de la même

mantère : remarquons que les sommes

(—iÿes és (£ L. s) NS on (eo ) (£ ee

S évanoussent pour 2=272=p— 1, et seulement dans ce cas, il est évident que ©,(æ) est précisément du nime degré par rapport à #,

savoir

; \ RARES (7) Sn(T) = F va DE

sS=0

Posons pour abréger ” Le,

æ #2 | ” K, o Cm LES ® | a "© + s

nous aurons .

s ARE 2N pr L PNp,r (9) 2p —= TS DD (p + 27 — 1) (par)!

Cela posé, nous aurons im médiatement les développements

d'après les fonctions de Bernoulli :

<n =3 4 M 2 PE 4 M p,5+1 na (10) Tate) = Geo Bh-25(x), s —0 cu ES ; 2 IN (IT) Dn(æ) —=: Tao Du-ts(@) s—0 RE

andis que les développements d’après les fonctions d'Euler devien-

nent

2PMh;s pa C

(12) fn(z) = (as)! En-25 (2),

UE ne A SL PR SO TR (13) En(T)} = arc nnte )

Posons ensuite, dans (10) et (11), # — 0, puis introduisons 27 au

lieu de », il résulte les deux formules récursives

S=n $ RTI re on +I a (14) Grece Mp,n — Mh,n+1 > ne ( e. ) BsM,n=5+1: “4 DA :

(13) Np,r = LdC ET (Fe sens, BsN pins:

dont la dernière est indiquée, sans démonstration, par Euler ("). Conformément aux RUE de Scherk (?), de Saalschütz (*) et de M. Haussner (‘), on n’a pas démontré jusqu'ici la formule eulérienne en question.

Introduisons encore, dans (12) et (13), æ — 0, puis remplacons » par 27 +1, nous aurons de même

"TL à. ee fon +1 Tir Mrs (16) Monn=pY (— se Pneus s=0 Sen N rs . ræl AT Eu) À s+1 NN p, ns.

(17) Non D (er) D2s Ss=0

Nous nous bornerons à remarquer que l'hypothèse x —— = conduira à des résultats analogues aux précédents. De plus, 1l est évident que les formules que nous venons de démontrer ou d’indiquer donnent, comme des cas particuliers, un grand nombre de for-

mules récursives bien connues.