XXXI. — Les fonctions partielles
Revenons aux ensembles contenant les 72 éléments o, et les n éléments correspondants 6, que nous avons apphiqués dans le paragraphe XXIX, puis supposons que À soit un nombre pair, savoir n—2p,1lest possible de diviser en deux groupes à à éléments les
(1) Novi Commentarii Academiæ Petropolitanæ, t. XILL, 1:69, p. 31-59.
(?) Mathematische Abhandlungen, p.7. Berlin, 1855.
(*) Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, p. 202-203. Berlin, 1893.
(*) Berichte der Kel. sächs. Gesellschaft der Wissenschaften, t. LXII, 1010, p. 417-418.
nombres 4;, savoir
Zi, Los Lys * du, (1) " 1! 2 [74 y, o, As +) Au»
de sorte que nous aurons, pour 1= 5 Cu
(2) a, + ai — mn,
et ce problème admet précisément 26-{ solutions.
Nous désignons comme complémentaires les deux groupes (1) ainsi définis, tandis qu'un seul de ces deux groupes complémentaires est un groupe partiel, formé de l’ensemble des #7 nombres &,.
De même, nous divisons aussi en deux groupes les nombres f, correspondant à (1), de sorte que ff et 8! appartiennent à a! respectivement à 4,; c'est-à-dire que nous aurons, pour 1£s£u,
(3) ps = (— 1) 5.
Soient maintenant (1) deux groupes complémentaires formés de l'ensemble des ? nombres ,. nous désignons comme fonctions par-
tielles appartenant aux ensembles des nombres 4, et des nombres 8,
chacun des deux polynomes entiers
s—=t4 re Ft) : > B£ (x + É VE & Ses PE : r'! Û a , S=1 C4) le MA Fr 0 1 Xs RE = TE rat , CHA 28 m
où 720 est un entier quelconque du reste. De plus, nous désignons comme fonctions partielles complémentaires les deux fonctions f,(æ) er g,(x) ainsi définies.
Ces définitions adoptées, il est possible de former précisément 4 fonctions partielles qui correspondent aux ensembles des v, et des 8,.
Supposons maintenant 2 impair, savoir A —2h—+1, nous avons à ajouter à chacun des deux groupes complémentaires (1) l'élément
et les fonctions partielles complémentaires f, (x) et £(æ) deviennent
dans ce cas
LR 7 C 7 r z / EL r : I Bu ( I a/ (2 . + (r)= —t == |xz+ - ci 5 ÉQ ÊU EE Re ) Jr(x) 1 ETS s 2 Re m Si— (6) s =Ù
: I Bu+1 LUE > 0 ES AN { n = PRET « Egr(æ — r! 2 (: ) 8: m D 1
Dans les développements précédents, nous avons supposé n 21; soit particulièrement » —1; chacun des deux groupes complémentaires (1) ne contient que le.seul élément (5), de sorte que nous aurons, dans ce cas, les deux fonctions partielles complémentaires
AE Cela posé, la définition (8) du paragraphe NNIX donnera le théorème :
1. Soient f,(x) et g,(x) deux fonctions partielles complémenré taires quelconques appartenant aux ensembles des 5, et des &,. nous aurons toujours
(8) Ja(&) + &a(æ) = Po-r(æ) Ea=r}, (9) (1) fo(— x —1) = Sole (— 1) g4(— 2 — 1) = f(x).
Posons ensuite pour abréger Ss—=4
TI—S Th — ; Ja(æ) D re dues Cas
(10) id
N' & GIS EN - mr [Amis ms (q —s)!
SA
o CA!
puis supposons $ 2r, nous aurons, en vertu du développement (rs)
du paragraphe XXIN,
(ni) A+ ASE As-r; soit SL, 7° 21, nous aurons au contraire (12) ai + = 0.
Les fonctions paruelles complémentaires jouent un rôle fondamental dans nos recherches suivantes.
