PR) PEN LEON PAT) TO MCE

définis par la formule (3), sont désignés comme les dérivées des

ordres Le I ND ES TT

de f(x), prises par rapport à x. Dans nos recherches suivantes nous écrirons souvent

(5). LAW Cx)= Dr f(x) = NE Jr), Le fur) = DC = D2/ Ce) |

On trouvera, par exemple, en vertu de (3),

(6) FD) =n an name lors An,

CONS EEE.

(') Methodus incrementorum directa et inversa, p. 21-23, Londres, HE

CHAP. 1. — THÉORÈMES ET FORMULES AUXILIAIRES. 5 Soit & une constante par rapport à æ, la formule binomiale donnera immédiatement, en vertu de Cas CODE (Ta) n(n—1)...(n —p+i)(r +a)t-» (EEE

de plus, nous aurons

(9) Drlaf(r)]= a f(x), (10) DEA(ar) = far),

où f'(ax) désigne la valeur obtenue de f'(y), en y introduisant Y — «x.

Appliquons ensuite, sur f(#)(x + h), la formule de Taylor, il

résulte, en vertu de (3),

(1) DE f(æ) = fo (æ).

Cela posé, remarquons que les dérivées d’une constante sont toutes égales à zéro, nous verrons, en vertu de (7), que les dérivées d’uñ ordre plus élevé que », prises d’un polynome entier du degré n, s’évanouiront.

Soit maintenant ©(z)un polynome entier du degré p par rapport à æ, et soient a et b des constantes quelconques, la formule de Taylor, appliquée sur la fonction

af(x)+bo(x)

donnera immédiatement (12) D?[af(z) + bvo(x)]= af" (x) +6 or (æ),

c’est-à-dire que l'opération D, est distributive. Étudions ensuite la fonction f(x) 5(x), la formule de Taylor donnera

hs, (13) fia+he(r+h)= Ÿ E DEL/(æ)e(x)l:

multiplions maintenant la formule (2) par le développement corres-

pondant

Fee : RO) o(æ+h)= (x) + D Ne Gr

puis cherchons, dans ce produit, le coefficient de la puissance A’,

il résulte la formule importante S=Nt

(14) DE[/(r)e(x)] = >: (74) DES f(x) Dé e(x),

qui est un cas spécial d’une formule générale due à Leibnitz Ce Soit par exemple »m—1, nous aurons, en vertu de (14),

(15) D,(/(r)o(2)] =) sa) en); Appliquons encore l'identité évidente T=—2+(T+a)

nous aurons, en vertu de (2),

sS=n : EN (16) HOESZ