L : S=pDp—1 K Le. Bh(— pa — $) RC ET D 2 N tp) - S—=p
rt) D Le = ut JS N\r D OC pe D n(r+ is) PA p' n | P
d’où, en appliquant les équations fonctionnelles de Jacobi, savoir les
128 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS. identités (1) du paragraphe XV,
B,(pz+f$—1 I p+s\?221 DR RC Ne
ee p1 (n—1)!
(5) ri} g(—z—1) S—p—4
n (— 1)? E,(px + f6—1) 8 =, 1—S = =)
ne ee de OS (æ- Frs
formules qui conduiront à des résultats intéressants pour des valeurs spéciales du paramètre 5.
Posons tout d’abord $ — 0, puis appliquons encore une fois les deux équations aux différences finies qui figurent dans les définitions des fonctions de Bernoulli et d’Euler, il résulte, pour les
foncuons
B à E T (6) va(æ)= en V(x) = — ) les équations fonctionnelles S—p—1 : , ; 1 | S\ 1-1 (7) D mn ee (+2) , SA S=p—1 1 a. Te 17 | I : Ss\x# (8) (te ENT TON EA)EE Ft > (— 1) (e+ = sS=1
L : I ; Posons ensuite 8— -, nous obtenons. pour les fonctions #}
Oo ( Æ ] W, ? = (9) DO Va(æ) = les équations fonctionnelles S—=p—1 £ I A 28 +I\?2—1 (10) (it ga(— rm — 1) = DD) + -———— N A EL :
(n—1)l 2P Le S=p—1 : I 25 n (11) etre r—r)= Ye) — — > (+2 —) dé S— 0 FE
Or, il est très facile de généraliser beaucoup les deux derniers groupes d'équations fonctionnelles.
\ cet effet, regardons le positif entier », décomposé en facteurs
CHAPSNVIR TT VLES TONCTIONS B,(pæ) Et E,(pæ). 129 prénuers (12) nr = phipas... pr, ;
puis désignons par
(13) RON ET nt) TT 4 1 q les positifs entiers, obtenus en divisant m par g de ses facteurs pre-
miers, tandis que
/ (9) UT (4) Cr) F m1 LL sr.) q
. désignent les produits correspondants des g facteurs premiers, de sorte que nous aurons Loujours
rs 1 ( i v 2 (15) rm = mn ÉD RETIENS Qt = 7 4 CA . .
Cela posé, nous avons à étudier la fonction ==; 2 FER ; cs) r mr nt (16) een?) RAS > SARA À 6 TETE ( my)!
qui est toujours un polynome entier du degré 7 par rapport à x; appliquons la formule (5) et la règle indiquée à la fin du para-
oraphe IV, nous aurons 5 ;
s=2{ F F, ( —Ù ( NT Eee A CERN CNE RTE TD), (1572 ) n ) nr ) FE PRSETT a) ( ) s=1 où 2u —v(m), et où les (18) 1, so, a, Ca ap.
sont les positifs entiers plus petits que » et premiers avec mn. Supposons ensuite que 7x soit un nombre impair, puis posons
S=/" Ft ( ; (5 .) J Er(max) | Y E(mé x (19) AGE ESE-vTen F2 fs EU | = q=1 nous aurons de même s=2{ ; NEUT ; PNR de VE (20) (— 1) Ga(— rx —1) = Gn(æ) + = >: (— 1) (r + S=1
NIELS NIELSEN
De plus, il est très facile d'ordonner, d’après des puissances descendantes de +, les deux polynomes F,(x) et G,(x). En effet, désignons par & un positif entier, puis posons pour
abréger
(21) van) =(pf—1)(p$—:1)...(pf— 1); nous aurons, en vertu de la règle indiquée à la fin du paragraphe IV, <a = 9 ( 1 / ) B 9€ D nm )r'!t a — ] ) Le Lost ( 10 s æhi—2s (22) ES D ET LEUR 2 —— oO (25) 1um?s=1 (2— 25) S—=1 <n+i en (— 1) Les: Dos—1 ( m)T; an-25+1
OT EP es eme ST où 1l faut admettre 221; soit n —1,le second membre de la formule (22) doit être réduit à son premier terme.
Quant aux deux développements que nous venons d'indiquer pour les fonctions F,(æx) et G,;(x), on peut comparer les développements du paragraphe LXX VII.
Nous ne nous arrêtons pas à la généralisation correspondante des formules (10) et (11), parce qu’une telle généralisation ne donne pas des applications aussi intéressantes que la précédente.
XXXIII — Suites régulières de première espèce. Désignons par f(x) et 2, (x) deux fonctions parüelles complémentaires, formées de l’ensemble des nombres 4, (1) NC Re Ne et de l’ensemble adjoint des Ge (2) Br
puis posons
s! vi 3 NU Te On = (3) Ffn(x) 27 (m—Q)!" q=m mn à sUL- PRE A NES ASS CL De (4) Sm() DE (m—gq)l
CHAP. VII. — LES FONCTIONS B,(pæx) ET E,(pæx). 151 nous aurons par conséquent
(65) DIU bons PES
et généralement (6) Sg + Sq = +91 31... (p—1)= Sy(p —1).
Dans ce su suil, nous désignons comme complémentaires les deux sommes s ét S£ ainsi définies.
Soient FCRSRES OÙ pP—2Y—+92, nous pouvons former des ensembles (i) et (2), précisément 2” fonctions paruelles de la forme jh (x) ou 2»(x).
Cela posé, nous avons à démontrer le théorème :
[. Soit fn(x) une fonction partielle quelconque, formée des ensembles (1) et (2), toutes les fonctions de la forme
(r) Fix) = ——— Entpe) + fn-1(#) (n
