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sont des polynomes réguliers.
En effet, nous aurons évidemment BON R (7) (n 21),
et les formules (7) du pa ragraphe XXXII et (9) du paragraphe XXXI donnent de plus (—1}2 F,(— x — 1) = 2 + [fn-1(8) + Snn1(æ)] — Sn-1(r)= Fa(æ). Quant au développement du polynome F,(æ) d'après les fonctions de Bernoulli, nous avons à chercher, dans F,(x), les coelficients des puissances æ72571, Or, B,(x) ne content qu'une seule de ces puissances, savoir 4271; les autres proviennent de la fonction partielle fn, (x).
Appliquons ensuite les formules (3), (5), (6), nous aurons le
développement cherché
HA
(8) ENS PC + De nt
et il existe précisément 2* développements de ce genre, ce qui nous donnera des formules récursives très remarquables.
En eflet, posons, dans (8), 2n au lieu de n, puis posons 7 — 0, nous aurons
q=n—1 u 2101 — 2n Sr n.
(9) a Œut A Re,
= (—1)(Son— APSon 1);
introduisons ensuite, au lieu des s,, les sommes complémen-
taires $,, ce qui est permis, puis additionnons les deux formules
ainsi obtenues, nous aurons, quelles que soient les fonctions partielles complémentaires f, (x) et 2, (7) que nous avons prises pour
point de départ,
y—=n—1 à (10) p{pren)Ba Er > (or )pns S:g(P —1) Bx- 9 q=1 = (—1)"{San(p —1) — np Sin1(p —1)],
formule qui est trouvée, par des méthodes entièrement différentes de la nôtre, par Radicke (!) et Worpitzky (?).
Soit particulièrement, dans (10), p= 2, da formule eulérienne (0) du paragraphe XVI donnera
nT, ÿ 2n (au 1) DA —" (— 1)2=1 ts 222-2q By-3 + (— 1) t(97 En 1e
qg=1
Quant à la formule (9), beaucoup plus générale que (10), nous aurons, en posant P =3, Sn =! Sm = 2", les deux formules récursives d’une simple forme
q=1—1 320241 3 (12) —— RER > nn. ne gr ar) ge!
q=n—1 D 322+1 3 \ on (15) CSA B, + D (— 1)4 Fe 229 32024 Bn,—(—1)2-1(3 n—2)92n-1, \2 q=1
de ) Die Recursionsformeln für die Bernoullischen und Eulerschen Zalhlen, - Halle, a. S., 1880.
de ) Journal de Crelle, t. 94, 1883, pr.
CHAP. VII. — LES FONCTIONS B,(px) Et Eh(pæx). 133
En nous bornant à cette apphcation unique de la formule génc- -rale (8), nous avons à étudier la fonction correspondante Gh(x æ) provenant des fonctions d’Euler.
À cet effet, nous avons à déterminer l’ensemble adjoint de (1) par les expressions
CFA = (—1}s,
puis à former deux fonctions partielles complémentaires 4, (x) et kn(æ) de ces deux ensembles. Posons ensuite
q=m - € æ'L-q (A) Rs) ÿ Fq SE 2 g\pi(m—q)! - JE qg=—=m ñ : Q æm=q (16) k æ EN ue a —— m(&) Æig'pi(m—gq)!
nous aurons sénéralement, pour g > 0,
; ne 5 | (3) sy+o=(—i)r-1 > (1) pr — 1 (— 10 s4lp 1),
Landis que l'hypothèse 7 — o donnera (18) Sp +59 —=0, Gh += —1I, selon que p est supposé impair où pair.
Cela posé, il est facile de démontrer cet autre théorème :
IL. Soit h,(x) une fonction partielle quelconque formre des ensembles (1) et (14), toutes les fonctions de la forme
E,(px) 7 p"
+ hn(x) (nZ=o)
(19) Ca
sont des polynomes réguliers.
La formule (8) du paragraphe XXNT donnera dans ce cas
El E(pæ)
COM GR Tr) = — + [h(o)+ hante) | ae) = Gr);
c’est-à-dire que nous avons à étudier séparément les deux cas sui-
vants :
1 pest un nombre impair. — Dans ce cas, le polynome Gn(x) est précisément du degré # par rapport à z; car le coefficient de la
