DAS

Landis que l'expression correspondante obtenue pour 5,(p) dépend de la parité de p. On aura, en effet,

2n | ee [)Sr on # (3) stp EDR ( 7 )repet (a20 s=1

(:) Ars conjectandi, p. 95-97, Bâle, 17135.

y 2n+1 : ot DT +: L (23 bis) Con+1(p) = LT 25+2 a ; Nes med 221+2

ces deux formules sont dues à Euler (!).

Jacobi (2) semble avoir introduit, le premier, une variable continue au Jieu du positif entier p qui figure dans la formule géné-

rale (22). En effet, il a regardé la fonction

= re Bh

DURE (2n)!

Ostrogradsky (*), Malmsten (*), Dienger (5) ont de même regardé une variable continue dans notre formule numérique susdite, mais c’est Raabe (“) qui a donné la première monographie des fonctions de Bernoulli.

On doit à Jacobi et à Malmsten des remarques importantes relauves à la variation de B,(æx); Ostrogradsky a FRERES les B,(x) comme des polynomes entiers de la ADR æx—+i1),re présentations qui sont les conséquences immédiates des formules (1-7) du paragraphe XII.

Raabe (7) a introduit dans le second membre de (23) et (24) une variable continue; plus tard, Hermite ($) a résolu, d'un autre poiat de vue, le même problème, tandis que M. Rogel (*) a donné une monographie des fonctions d'Euler.

Quant aux sommes s,(x, p) et s,(x, p), nous avons encore à

(!) Znstitutiones calculi differentialis, p. 499. Petrograd, 1755. (?) Journal de Crelle,.t. 12, 1834, p. 265-263. ( LA |

*) Memoires de l’Académie impériale de Saint-Pétersbourg, 6° série, t. II, OMS DO 225000:

(*) Journal de Crelle, t. 55, 1847, p. 60-67.

(5) Zbid., t. 34, 1847, p. 75-100.

($) Die Jacob Bernoullische Function. Zurich, 1847. — Journal de Crelle, t. 49, 1851, p. 348-367. — Mathematische Mittheilun igen, t. I-II. Zurich} 1855- 1 858.

(1) Mathematische Mittheilungen, t. I, x ($) Journal de Crelle, t. 116, 1896, p. 144.

(°) Bulletin de l’Académie de Prague, 1892.

54) hf a

développer une suite de formules qui seront utiles dans nos recherches suivantes.

À cet effet, citons tout d’abord les deux développements

(24) onCe + hp) = sue) + (7) saci(æt 142 It +( Jean. + ( }sotæ)an, 2 n (25) enCe + h, p)= oa(e) + (7) site)

— ee On2(T)h?+,,.+ La co(æ)h?,

conséquences immédiates de la formule binomiale. Posons maintenant, dans la formule (10) du paragraphe V,

f(x) br 10)

puis appliquons l’idenuté

RTE EST UT

ABh+1(x7 +p) = an

il résulte pour la fonction Aÿ(x), étudiée dans le paragraphe V, le

développement T—=p

(26) pe) = Dr (PT )snCe pr +0.

Fr —0

L'hypothèse f(x) = En(x)

donnera de même

dEn(æ + p) = (@xp}

d’où, en vertu de la formule (5) du paragraphe VI, pour la foncion A’ (x) regardée dans ce même paragraphe,

(27) ap)= (PT )ente pr +)

Soit maintenant, dans (28) et (29), x — 0, nous aurons les for-