DA

formule qui est essentielle dans nos recherches suivantes. e FD ” Posons, dans (2), æ—0, p —1, il résulte la formule (15) du

paragraphe XII, savoir

Pi ent | ce M:

77 Den B= —,

ce qui est précisément la formule que Jacques Bernoulli (1) a

apphquée pour le calcul successif des cinq premiers des nombres B,, savoir PANE. (D B De

Il est très curieux, mais regrettable pour l'Analyse, ce me semble, que la plupart des géomèêtres n’aient pas fait attention à cette méthode élémentaire de Bernoulli, de sorte qu'ils se sont efforcés à inventer des méthodes transcendantes pour trouver des formules récursives qui ne sont autre chose que des conséquences immédiates d’une formule élémentaire, connue de tout le monde. C’est pourquoi nos citations concernant les formules récursives sont très éparses; car trouver une formule qui n’est autre chose qu’un cas particulier d’une formule générale bien connue ne nous semble pas une découverte de mérite.

Revenons maintenant à notre formule générale (2).

Première application. — Supposons æ — 0, puis posons, pour

abréger, m

DE (2Sm(p)—p")—pr#t,

(4) An= Am(o, p) = 2

(:) Ars conjectandi, p. 95-97. Bâle, 1713.

je dis que nous aurons les quatre formules récursives générales

Ss=n—1 eu \ s=0 « EME) 25+2B ( 1—1A Re : DA = 0) \| jalee 2B7-s USA 4 (9) > Core S—0 S=n—1 (n) > (Es ne ni ï) DA B-s= (— 1) 1 (Aon+i — D Aon); 2 A ELES /À .

2n 2] \ Genre À Cur( 2 ) metre (e a)

En effet, posons, dans (2), m—2n—<+i, respectivement .M—2R +2, puis prenons dans l’ordre inverse les termes qui figurent au premier membre, nous aurons les formules (5) et (6); soustrayons (5), multupliée par p, de (6), nous trouvons la formule (7). Quant à (8), posons, dans (6), 7 — 1 au lieu de 7, puis soustrayons le résultat ainsi obtenu de la formule (5) divisée par p, 1l résulte la formule (8).

Les formules générales que nous venons d'obtenir donnent les cas spéciaux suivants :

I D—1I;MOUS aurons

Mt —1T I Am = =: > À » — A ni — m2 ce qui donnera sS=n—1I (9) > CARE) Besse om (r—+) Ss=0 S—=n—1 HAE, 9 SET AT EE S=—=0 S—=n—1 pe 2 +I x (— i1)r-1 S=0 S=n—1 (ra) NE 2n AR en ( ( )Bn DA D Es Base >

di 4 n yo

Il est évident que les formules (9) et (10) ne sont autre chose que la formule (3) de Bernoulli pour des valeurs impaires ou paires de » ; néanmoins, on attribue à Moivre (t), respectivement à Jacobi (2), les deux formules en question. De plus, on dit généralement que la formule (9) est la première formule récursive connue pour les nombres de Bernoulli, quoique Jacques Bernoulli ait appliqué la formule plus générale (3).

La formule (11), obtenue en soustrayant les deux précédentes, est généralement attribuée à Stern (?).

2° p —2; nous aurons, dans ce cas, An = (on — 3)2—i + mm +1, An—2Am=2%"l—(m —i), mn /

ce qui donnera

nn 4 L (13) > (0 Ne, = re [an sansen+s], MS S—=0 S= nr —1 rte ; où n + (14) NV TR 2 2 22%B,-s = (—1)2-1 (n — 1)22%1 + l pl 28 +2 D) S— 0 S=n—1 : à ë OP RNEETE) 25 n—1 (on qe : li A ss = (—I > = (15) DA HARROIE Br (1) a S == 0 s=n—1 Ê 2n < 2 Ed $ 2sB me (16) (2n+1)B:+ > (— 1) Cat re SL

— (— 1)2-1 (oan-2 nee à :

; Ï se à ver (4). élève la formule (13) est souvent attribuée à G.-F. Meyer (1), élève de

Stern. | "à

On voit, en vertu du développement du paragraphe XX VI, que les suites régulières qui correspondent aux formules récursives

(*) Miscellanea analytica complementum, p. 6. Londres, 1730. (5) Ibid., t. 84, 1858, p. 267. | | (“) Ueber die Bernoullischen Zahlen (Thèse de doctorat). Gœttingue, 1859.

régulières (5) et (6) ont respectivement les éléments généraux

(a) DT Er ut DE

: Snilcere Do) sr TD)

Deuxième application. — Supposons, dans la formule géné-

rate ire =) puis posons, pour abréger, (19) Âm=mM[2#m1(p)—(2p #1] = (Cp 17,

le même procédé que dans la première application donnera ici

sS=n—1

à 2n (20) 2(2%=T)B, + > (= DOTE Jette (op D Ba = (Dm Aun, sS—=4

S—=n—1 2n +I (— 1-1 A; ° — 22n—2 Te EN Eme DRE (21) 2 ( (ne Le Jar S(2D=—=1)SB,;S— RASE ; = S—=n—1 RON Ca .

(22) [(2n—1)222+92]B,—+ > (Fr, je 25(2p —1)SB,,