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ne T0).

posons COM (rh ra 14 aPlmn2 +, + arr +...+aÿ,x+a), et, par définition particulière, (7) an —0, ag —=1, l'identité évidente J(æ)=(r—2,) fx) donnera immédiatement

(8) Am = An — A1 %y (ÉémE=n)

ce qui nous conduira à des résultats essentiels dans la théorie des équations algébriques. É En effet, multiplions respectivement par

q — = 4 TRE COUR -Gres CO re D AVE à

les équations

(y vi lp= App — Ap-1 Av, (v) RUE re HE 4 y ee TS te D a DO OI De ; 0) ( ù Lea et pe MIE TAC HIER PCM CEE "À [?

do = aÿ— aÿlay

valables pour 1 <p ©» et tirées directement de (8), puis additionnons toutes les formules ainsi obtenues, il résulte

* ot D (9) A} = Applet 4129 + ay.

Cela posé, introduisons les sommes des puissances semblables

8 PREMIÈRE PARTIE. — DES CLASSES DE POLYNOMES ENTIERS. des nombres 4), savoir (10) CC SR EL ET puis posons, dans (9), successivement

A SE ei UE nous aurons, en ajoutant toutes les équations ainsi obtenues, (11) af +ap+...+ af = nap+ aps +... + &iSp1 + Sp.

Soit p — n,la somme qui figure au premier membre de (11) a, en

vertu de (3), la valeur zéro. Quant au cas général, où p est supposé

plus petit que », la somme en question est évidemment une fonction entière et rationnelle, symétrique par rapport aux nombres 4, ; c'est-à-dire que nous aurons

a+ a+... + a = Ka»,

où Æ est un positif entier, facile à déterminer. En effet, remarquons que a, et a contiennent respectivement

fr (ee 1 P

produits à p facteurs pris parmi les ? nombres «,, il résulte

et nous aurons finalement, en vertu de (11), (12) Sp USp1 + A2Sp> +...“ Ah-151 + PAp— O0,

où il faut supposer 1 <p£n.

Soit ensuite p >> A», savoir p — mn, la formule (2) donnera

In Es m+Nn INM+'— 1 m+ ANOACN) — 0 ii Gr a Cie 10

d’où il résulte, en posant

puis, ajoutant les rn formules ainsi obtenues,

(13) Sp spi +... + An 15p-n+1 + An Sp -n = 0 Cp=