B, + N°) CHE GENE
2° Soit p = 2, on trouvera de même
(56) [ (322 + 3)(222—-1+ 1) — 6]B,+ ENT re) G2r—2s 75B,-s
sd
ANT) ren],
St A
2n\ (57) [(322+3)(222-1+ 1) — 6]B,+ » ax (2e) mnt,
= (— 1) 1[(6n —rrpri2tt+ion,b2n1],
Ün certain nombre des trente-deux formules récursives que nous venons de déduire d’un seul coup, comme des cas spéciaux de la : : US "?
formule de Bernoulli, sont bien connues. Cependant, je n’ose pas
indiquer les premiers découvreurs de ces formules connues qui
ont été retrouvées bien des fois, généralement par des méthodes
transcendantes.
Citons un seul exemple de ce genre.
Schlômilch (), dans un petit Mémoire de sa tendre jeunesse, a trouvé six formules récursives pour les B,, savoir les deux for-
(:) Archiv de Grunert, t. IT, 1843, p. 9-18.
mules (9) et (10) de Bernoulli, dites de Moivre et de Jacobi, les formules (8) et (9) du paragraphe suivant et les formules (5) et (4) du paragraphe XL; c’est-à-dire que trois de ces formules sont certainement bien connues. Néanmoins, l’auteur dit, relativement aux
formules susdites (!) :
« Die bisher entwickelten Eigenschaften der Bernoullischen
Zahlen, welche gar nicht bekannt zu sein schetnen..…. » A l’occasion de ce Mémoire, l’illustre Güpel (2) remarque :
« Da man sich dem Obigen zufolge Recursionsformeln tn beliebiger Menge verschaffen kann, so müchte es nicht von grosser Erheblichkeit sein, deren neue aufzusuchen; es gelänge denn eine solche aufzufinden, die einen tieferen Blick in den Bau dieser Zahlen verstattete. »
Or, cette réserve de Güpel doit être étendue plus loin encore.
En effet, on sait qu'une formule récursive régulière des nombres de Bernoulli correspond à une suite régulière, et c'est possible qu’une telle suite conduira à des résultats nouveaux et importants. Par exemple, les suites régulières, que nous venons de citer dans ce paragraphe, m'ont conduit aux recherches développées dans le Chapitre VIT, résultats qui sont essentiels dans la théorie des nombres de Bernoulli ; nous le verrons dans le paragraphe LXI. R
De plus, les coefficients mêmes d'une formule récursive des B, présentent, au point de vue de la théorie des nombres, un intérêt paruculier ; nous le verrons dans le Chapitre X VIH.
