XXXVIII. — Formules régulières pour les T

Dans nos recherches sur les coefficients des tangentes, nous prenons pour point de départ la différence

où p désigne un positif entier. Posons, pour abréger,

(1) AT, P) = 2+1lo,, (x +1, p) — (2p +2)", (HEEOC MEL EST (A)MAOC 1610 Ep A0:

CHAP. VIII. — MÉTIODE DE JACQUES BERNOULEL 161 nous aurons, en vertu de la formule (8) du paragraphe XXX VI,

- Mm+I GYEE

02 RE à, Chr Et (2p +2æ)n-2HT,

sS=1

=A,,(x, p)+(—i)mlonm1h, (x)

relation qui nous conduira immédiatement à une suite de formules récursives pour les coefficients des tangentes.

Première application. — Posons, dans (2), x = —

aurons, en vertu de (1), ns k I \ (3) An = An (— À p}=2zn(r)—(2p—0,

ce qui donnera, par le même procédé que dans le paragraphe précédent, ces quatre formules récursives :

S—7—1] à = 2n Eee M (4) D RS à fes + ) (2p—1) ST, =(—1)1E,— (—i)2A;;,

s—0 S=n—î1 2 — 1 ; (5) > CHI jouer, LUTTE NORE SET 2 — 1 (6) D r(ri)er-nnr, ; Per t— 1) [ Aon — (2p — 1) Aon—i], ES Sal e à ND 71 es GE Een— 2 »(,77,)ep-n Ts s—0

= (—1)P=1(2p — 1) En + (—a) [A anti (22 —1)Aun|,

formules qui se présentent sous une forme simple dans les cas

suivants :

1° Pp — 1; nous aurons

Are I, An = À -1 — 0.

NIELS NIELSEN 11

HORS Er 32 Tu —=(—1)"(2 — 321), ) )

x ’ 4 k , È 162 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLI ET D EULER. :

ce qui donnera PP 2 | 1 S

Sr (8) A) x 2 Je En, s=n—1 a (9) > (— De (EE nec, 5 =0 s—=n—1 à :

(10) > Cyr ire ER nr (1) > Ca 2, ]Tes= Tin E, .

Ss=0 >

On voit que les ‘deux premières de ces formules ne sont autre chose que ja formule récursive (5) du paragraphe XHI:; la formule (8) à été observée par Scherk (! A

29 p — 2, ce qui donnera

App Ju 2; An — 3 A1 = 4,

de sorte que nous aurons, dans ce cas,

RATE, = CPE UE Rp)

RSATe = —E,—(—rtis

SET RE — Tosi+3E,— Ces

(!) Aathematische Abhandlungen, p. 5. Berlin, 1825.

24 à Le \ 3° p = 5; les formules (6) et (3) donnent, dans ce cas,

S=tn— 41 à DRE NT el (16) > (2 . SSHT = En —(— 1) 43201 0), $—0 ‘ , SUN | “1 er 1 Sie ue (7) Cat: Lo) Tnt Tai 5En—(— 1) 4 (30 — 2).

: S=—0 k ee Deuxième application. — Supposons, dans la formule géné-

rale (2), &æ — 0, puis posons, en vertu de (1), (18) Am= Am(0, p) = 2#1o4(p)—(2p}"#;

nous aurons, pourvu que p soit un nombre impair,

s=n—1 j ; ; on & / (19) D (WE ( re )epRet Te — (1)? LAS, e S—0 k S—=N7 .

, . 3 fan +1 SE :

(20) 27h41 +YŸ (Se > ( Se )Cn» Tu-sn = (—1)"Aonit, s—=1 É E sS=n 2R +I\ NET 0 (210 "onT D { 2p PS Ts = (—1)t (© —À; (21) > ( ) Leparl P) ns +1 ) 2 p 2n+1 J) LE SI

DID) : ; (22) 2T,+:1 +Y CT ( #e ) Gp) Tr —{(—r)u(As, 1 2p A2), s=l

formules qui se présentent sous une forme simple dans les cas sui-

vants :

1° p—I1; nous trouvons ICI An = 27%, An 2 ni = 0, J ” (23) > ti ( DR NDS re: Nas LT s—= 0 S=Nn NT DIET Où EEE Let à:

(24) 2%; + > œix( a ) EU PEN ET 0 D Ce)

et s=n. | X (25) on Tan + nf) ae 0, Pr: : | 4 & r SE 7L) F ; L , (26) 2Tau+Ÿ (os (rame TA |

2° p —3; les formules (21) et (22) donnent, dans ce cas,

dE (A

(27), Tant? (Tr) eeTn = CS (gen ven),

LS ET Su ;

> (28) T7 Ho (—s} js à GT (CE a).

Supposons maintenant que p soit un nombre pair, nous aurons

S=n—1 ES D (22, )enmers = (An, Si 0 sS=n—1 »

(30) D (— ns ee) CPI Tr = Ce DA s=0 :

An — AS ; (31) 2nTr+ > Cr )epnTes (it = à,,),

s=1 sS=n—1 :

: NT NON GES > RU (2: re Ÿ Tas=(—1)"(2p an Aontr).

formules qui se présentent sous une forme simple dans les cas sui-

Vants :

1° p —2, ce qui donnera

An =| me DRE A — {A1 = = 9H,

er QU ME :

Fo) # y r Ru. étui),

de sorte que nous aurons

S—=n—1 s ‘ on (33) 2 (— x, : nes EST ps (—i)r(otn=t — get), = 0 .

Les suites régulières qui correspondent aux formules récursives (4) et (5) ont respectivement les éléments généraux

. ma(r+ hp) + (ion (se pt) a ,

(n+1)i I ; * I on(r+ 4 r) sen)" a (2 a 9 pi) — —,

tandis que les expressions correspondantes pour les formules (19), (29) et (20), (30) deviennent respectivement

(39) = En1(7 +1, p)+(—i) one, p) (40) (a +1)! :

Troisième application. — Supposons, dans la formule générale (2), a L=— —) où D ENS)

puis posons

(41) A0 cn (— Sp) —36p—0a"t,

nous aurons, pour M—2N—1, la formule récursive générale

Ss=Nr—1

(42) > Co }ar(Gp— ra) Te s—=0 (— 1)P 54 ( 327 LT ) T

= (— 1) l'An — =

dont la suite régulière correspondante a l'élément général

ER CRE TE RAS TT CENRE [7 E,(æ)]

a a enfer L+up)+orea(ir P —1 D

mn?

Posons maintenant, dans (42), p —1, nous aurons

s—=n—!T ROSES 27 —1 le (44) Di 1RRLE > i= mx ( à ) 32n-2$925T,.— (— 1)2-1 3.22n—1, 2 ù s $S= Ss=n—1 SAT 3 on —tf DE k (45) 3 T + N a * ( “A ) 32-2542 T ,—(—1}0—1 3.422 1, 2 ns Ç Se /

S=n—1 nt — 5 LR" 2F—1 (46 ibsse X (—r) £ 32725 SSTh s—(—1)73(227— 8271) 2 2 s—1 S=nr—î1 ROSES N 2R—1\:

mn) PRE EE fn ps 32n—2s 1oST,, (47) 2 n / \ ) 25 n—s$ LR | — (— 1} FRITES — pO22- 1),

Les remarques faites, à la fin du paragraphe précédent, relativement aux formules récursives pour les nombres de Bernoulli, sont valables aussi pour les formules que nous venons de développer. En effet, les formules récursives connues pour les coefficients des tangentes sont retrouvées bien des fois et généralement par des méthodes transcendantes, quoiqu’elles ne soient autre chose que des conséquences immédiates de la définition générale des fonctions

d'Euler.

CHAP. VIEI. se MÉTHODE DE JACQUES BERNOULLI. 167