XXXIX. — Formules récursives pour les E

Nos recherches sur les nombres d’'Euler sont fondées sur la formule (2) du paragraphe XVII, due à Raabe, savoir

( t : Se ( a CE — 532 T + — (1) 2 Ex) = DE Lo 1e (— 1} E, 2

m ! (as)!2s (m—o2s)! ?

méthode qui nous donnera, d’un seul coup, toutes les formules récursives connues de ce genre, et beaucoup d’autres.

Première application. — Supposons, dans (1), 4 = p, où p désigne un positif entier, puis posons, pour abréger, (2) IA, (2p 1) — a+ 1 Sn(pP JE

où le dernier terme qui figure au second membre est à supprimer ‘pour pi 0; le procédé ordinairz nous conduira à ces quatre formules récursives :

s—=n—1 (e») > (7 )Cp+mDEE = (tas, S=0 sS=n—1 Go) D Cf; )ep+pmEse Cote + (an s=n—t1{ , (5) >> (7, jee nu Le)Tn— (1) [Asa — (2p +1)A2n il, s=n—îi ) D cf, Jer+nerms CN)

mn) Tri 5)2{ Aon+1— (2p + 1)Aon]

formules qui se présentent sous une forme simple dans les cas sui-

vants :

re 9 J = 1 22 «

163 DEUXIÈME PARTIE. = NOMBRES DE BERX da Er D'EULER. | E He P — 0, ce qui donnera & À F à : SES Le F4 ee > ae: RE EE RME Re à Free je | Sn 1 | F2 PO PLU , D Sen(ijeenten SA Ÿ : + ” sS=n—1 r o S'en(r nain, F S=—= > Gore > ÉptsNReere | c È S—0 a hi n°

Les formules (5) et (0) sont dues respectivement à Euler (!) et à.

Scherk (2).

2° p—1; nous aurons, dans ce cas, An= 3— 9mH, AS ALES 2m, ; ce qui donnera : k Ë net :

(11) > a En = (—iprçornti gun), S=n—1 ; | AE NES ; = ; (12) pe CL) SE Te (— rpe(get 2 an), L, s= l - S—=n—1 É DO Ne (3) > > ( 25 Jus 3T, (y pire S—0 1 S=n—1 i à < 2n # (14) > A + S=0 J

() Opuscula analytica, t. I, p. 269-270. Petrograd, 1785. (?) Mathematisché Abhandlungen, p. 5. Berlio, 1825. - 2

3° p — 2; les formules (5) et (6) donnent respectivement

=: NE Op à VE , À + (Gr) . (—1} se PSE = 5Ti+(—i)(3 — 201), $=A S—=n—1 ë Fe. © CÉRDN : È (16) > (— 1) ( Ses PSE, Taya(—r}2(922— 3) ont, S—=0 Deuxième application. — Introduisons, dans la formule (1), T=p—>, Où p désigne un positif entier, puis posons, pou abréger, (17) e An (2p}= 925; (p),

nous aurons, pour p 1MpAT,

Eu (8) 2 Un Die CPE $=(—1)#- LAS s=n—t (19) >» (— 1} ere (CPP AE, = (1) t Ass, Le.

+ on s FRE Lars > Co, Joe.

FA | Ant = (ir (ass 2p )- Ss—=n—î1 / (21) 2E, + >» Edo 022 ns = (—1)*(2pAan-1— Aon) SA ce qui donnera, pour p — 1, s=n—1 x (22) 2Eh + > (— 1) (22 225 En s—(— 1)?(2— 9220) S—= 1 s=n—|1 :

DIT FA °sE + F Et Se > des MÉLESOUX on s=—=0 s=n—î1 s 7 52% K (ee 12e Ga) @r=ne+ D (n(, 27 ,)eBs= cs, Si S—=n—1 (25) 2 En + > xt, D')ass cyta.

170 DEUXIÈME PARTIE. — LES NOMBRES DE BERNOULLE ET Db'EULER.

Soit ensuite p un nombre pair, nous aurons de même

EN © k JMLN :

(26) D: Cafe) CPE = (— 1" Aan th!

S=Tn—1 (23) De ir) (2 D} SES CSN VE 2 = (28) (on +1)Es+ > ete) >p}E»n-s SE

S=n—\1 AIDE AIS TA Re (29) > CE SE (D) PES rer 2P Aont1); É S=0 À posons p — 2, les deux dernières de ces formules donnent respectivement = sS=n—1 on ? (— 1) - (30) (2n +1)E, + > ra bre ——— (3 — 32%), = CE > S=n—1 é ; 2 +I (—1)}2 :

31 V (Sri RS er STE PO SE ( ) se { ) sm L n—s S (9 3 De s =0 Troistème application. — Posons ensuite, dans (1), a : à CAES DS) où CN PO De J

puis posons, pour abréger,

9 [44 2) Am 2.6#-1 Sm—1 (: EN ») (6p no — 2a }nA1, 3 :

ilrésulte pour 70570 7.

S=n—1 FX ; 2 DIET STE PA (53) > (—1}S"1 ee Hé 3222 (6p +3—2a)s+iE,.

SU : es PEA( 3283 —=i(— 1)? 1 AS, — D a rh

d'où, en supposant p — 0, a —1,

S—=7—1 4 NP RTE Tel ee. 322—3 (34) / ( + à es 321—2$ ns —= 6 Th+(—i)r, s ==

tandis que les hypothèses Di) = donnent

(35) > (= 1-1 ee #3 gn-2 5% -1E,

24 ST S—l

er JE (= 1)2(52n—1 ie de

Posons encore p — 1, « —1, il résulte de même

sS=n—1 {on —1) (36 NV (— 1}S—1 3 32n—25525—1 [£ ) nd & ST ES DST x te s—1 \ é 322

= es — T, + (== 1)2(72n—1 LENS je

Les

remarques faites relativement aux formules récursives pour les:B;ret T} sont applicables aussi pour les formules contenant

les E,.