XL. — D’autres formules récursives

La formule (1) du paragraphe X VII, due à Raabe, savoir

1\72 Sue, T\7i—=2S (e+ her 2) (245) (1) Br + œ - >

m |! (as)! 225 (nr —125s) Ss—1

donnera immédiatement une suite de formules récursives pour le calcul des nombres

souvent désignés comme les coefficients des cosécantes, formules Læ, desquelles nous avons à indiquer les plus simples.

1° Posons + =0, m—2Nn+I, Mm—2R, nous aurons respecti-

vement ; à ÉD ; R ET | CE 2 s=n—1 } £ : L ae Dar | À = > 20 EN

an +1\ TIRE ROOMS RENTE

(5) D rfi) ca) ( ee SR a : S==0 . 2 * n AZ A e s=n—i at 4

GO sGmnB,+ À (C1 Eye . 5) Bee (tt 6 LR É s=—1 S | SA ne EX : $C)

la formule (3) est due à Euler (* je Posons, dans (3), n—1 aulieu 4 de n, puis additionnons à (4 ) le résultat ainsi obienu, il résulte la: 21

FRA récursive homogène | DR +

net > < KR fan—i +

G) oou-nb+ Ÿ 1 ( se ) Cat NEED | A LS NE à , 1 2° Soit x — 1, l'identité ee i j » LE : 3 Bet = Brto)e à X VER (m1 RE cos donnera, par le même procédé, ces trois autres formules s=n—1 œ. à É 4e DE EN ESS A (6) > RUES 325+1(a2n—25 2 )B, #4 s=0 = É = (— 1)*[(2n +1) >2n+1 ES 32n+1|, È sS=n—1 d > (7 2r—)Bat À Cnr(9r) sucres 2). “5 ea | 3 a qu. RSR IN LEE CE) 2(2 1)Bn + > (— 1 ( Fe ECS 2)Be 6 s=1 é = (— 1)#=1 (2 = 3) 22n-1, L , (') Opuscula analytica, 1: IL, p. 264-265. Petrograd, 1585. |

“ L A 3° Supposons + — 5 Nous aurons de même

sS=n—i1 | an ee ct ; (9 ) D (— (LE e) (22n—2s —2)2%B,-.—(— 1)2 (222 — 4 n), s=1 S=n—1 2R+I 2) »à St s a (22725 — 2) 925B, = (—1)2(on+1— 0°), s—=0 : Ë S—=n—1 ! 2n ONE ù (11) (2n+1)(222— 5)B, + > x (,27,)e 25—9)22B,. + | = (—1)t-1(2n — 1), S=7—1 3 wi 27 —]I x (12) D (— 1)571 ( Le ) (2-25 2 )9%B, += (—i)r(4n — 4). UE S=Ii 4 À l 4° Les hypothèses x — — 3 M—2n donnent + s—=n—t on (13) (32r — 3)227-1B, — 2 (— 1)s Eu (222—2s —») DER RP (— 1)2. , ne 0 Re £ I : ; :

5° Soit æ——-, il résulte, respectivement, pour m—2n, = SNL, (1) (22%—1)(222—2)B, s=n—1 À as on : pes SE > + D ( e ) (221—25 — 9) 92n—2: Br (— L}e 1, S s=n—1 2n+I 5 H ñ D —(—1}2 =) 212$ __ y» ) 9272—2$ B Fes (15) (on +1)Er=( JE > dE AIRE ) n s—10 2 £ > l 6° En dernier lieu, posons x — — gr —2N, nous aurons 32n—3)(2»22—2)B, (16) pJ?u+l Se 312 :

\ 27-28 + D (— 1} a ( (atn=2s—9)B,; = (1) 1.

Li 2$ 2 SD

Remarquons en passant que l'on peut déduire plusieurs des formules précédentes et quelques autres du même genre à l’aide des

formules (6) et (5) du paragraphe XIX, savoir

= Œ'r = r); Bree) FRE > (s +1)! x Ss= 0 S=n L ( ) AE os (— 1s Ln—s\æÆ A AE) AN à É OL pe s!

A cet effet; posons — x — 1 au lieu de 7, nous aurons sans peine

CT ACTE (HR) DIS Be) (12) n\o La (25 0%

(D rer Et #, By-ss(x)