RES

br ED rr < | D 5 à) (19) (TH + NE TD A C ‘ nl) nd SD SN <u ES CRAN TRS ENS Es (Tr) LE == * (na +) amd (2Ss +1)!

ce qui nous conduira aux formules susdites, si nous introduisons des valeurs particulières de +. Cependant, nous ne nous arrêtons pas ici à ces formules.

Revenons maintenant à la formule (25) du paragraphe XXX VII, due à Euler, savoir

S=n—1 LS fan +1 (1) N = 19e Jo 2 =(— ji np.

) ( ) Ce Er) R=S ) 2 $—=10

formule que Kummer (1) à appliquée dans ses recherches sur le dernier théorème de Fermat, tandis que Grunert (2?) l’a démontrée par la conclusion de x à » +1, en prenant pour point de départ la RE LE Or SN ns ing 0

') Journal de Crelle, t. 10, 1850, p. r2r-192. ) Mathematische Abhandlungen, p. 55-60. Altona, 182.

( (es

CHAP. Ville — MÉTHODE DE JACQUES BERNOULU. 175 formule (3) du paragraphe XX XVII, savoir la formule de Jacques Bernoulli.

H est très curieux, ce me semble, que lillustre Güpel (!) attribue à Grunert la formule eulérienne susdite.

M. Mandl (?) fait une comparaison intéressante entre la formule (1) et la formule (10) du paragraphe XXX VIL.

En effet, écrivons les formules en question sous la forme

S=n—1 (—1)SB,-. (—1 nn co > ! — PNR RE Amd (25+2)!(2n —02s)! (2n +0)!

£—=0 sS=n—1 (3) SE En LEE NES mec él (25 r)l{on os) (on Hit ;

puis étudions les deux équations algébriques

PAUL ænmi—i1 æ'i—2 (== re tr (— 1)/2 CS = 0,

Di 4! 6! (2m )! (mr)

æ'n æ'ui—1 æm—? (= ya —L EX à 2 5 + = seit Tr 4 — 0) te sl gi ui (om —1)! (2-1)!

Soient s, et s, les sommes des 7i°"% puissances 'des racines de ces deux équations, 1l résulte, en vertu des formules de Newton,

(6) Sn Sn—1 Sn—2 ; nes: ; sn) Er Ne PET te " SA” ER : T pet , DE 4! 6! Mont (an +)!

ee in

7) D LA Din D D (an en)

où il faut supposer 7 © m.

Cela posé, il résulte, en vertu de (2) et (5), RRCR.

(3) STE — En)’ ; )2n—1 B, “A AU

de sorte que nous aurons toujours, pour 7? <m, la formule curieuse (10) Sy gai GE

dont la démonstration directe me semble un peu difficile.

(:) Archi de Grunert, t. 3, 1843, p. 60.

: ARS (2) Wiener Sitsuñgsberichte, L. 94, 1, 1857, p. 917-999:

MR au = . :

ul «7

L2 Ë 176 4 ES 4 FuS XLII. — Sur le calcul des nombres B,, T,, Ex. ? Be “4 s Quant au calcul des nombres de Bernoulli, nous avons déjà EX PS remarqué que Jacques Bernoulli () a déterminé, à l’aide de la for- : mule(3) du paragraphe XX X VIT, les cinq premiers de ces nombres. . £ Euler (?), par un procédé analogue, a donné les résultats plus PRES SÉNÉTAUX : | | DE = Le :

3 6 \ RIRES É ds L B» = — PTURR ) 3 30° :

: I 1 RE L tte .

I | , B = — | “+ 30 | B; — 66 » à É Be —= so ; - À Le 3 2730 ; D er % s 6 | Bye 3617, RES 43 867 : LT 208 174 611 B\5—= < 5 33o 854 513 BI : + ETES p..— 236 364 og1 è :

RE 2-30 D A 8 553 103 13 & pue 23 749 461 029 1% 850 ; B.. 8 615 841 276 005 Ÿ E 14 322

ams &) indi Adams (?) indique qu'Euler, dans les Acta Petr opolitana, 1581 Pi aurait en outre calculé les deux nombres suivants B,, et B;;, ce qui ?

ES EE Re fe (') 4rs conjectandi, p. 95-97. Bäle, 1713. - (*) Znstilutiones calculi differentialis, p. 420-427. Petrograd, 1555. (*) The Scientific Papers of John Couch rte LED Canbatiees 1896 , Lz

semble être faux. En effet, la publication susdite ne contient qu'un seul Mémoire dans lequel les nombres de Bernoulli jouent un rôle, savoir un Mémoire d'Euler (') concernant la valeur du nombre C, devenu célèbre sous le nom de la constante d'Euler.

Dans les deux premières pages de ce Mémoire, Euler indique précisément les quinze premiers nombres de Bernoulli, calculés par lui, et, dans sa calculation de la valeur de €, il applique seulement les six ou sept premiers de ces nombres.

Rothe (?) a d'abord calculé les trois nombres B,,, B;;, B,4, puis (#) les vingt-cinq premiers des B, et enfin trente et un (‘) de ces nombres.

En appliquant la formule (9) du paragraphe XXX VIT, Adams (5) a poussé le calcul des nombres de Bernoulli jusqu’à B62.

Enfin, M. Serebrennikoff (6) est allé beaucoup plus loin encore, en calculant les B, jusqu'à B,,; cependant je ne connais ni sa méthode n1 ses résultats nouveaux.

Quant aux coefficients des tangentes, Saalschütz (7) indique, sans commentaire, les résultats suivants :

IEEE He D: