CHAPITRE VI. — SOMMATION DES SÉRIES
sivement par sin fdf et sin 2<pd^, puis qu’on intègre entre O et it, on trouve : ^
py,8ii.2?d7=:^, (*).
Ainsi
Aj^Vvsin
A sin 2<fd<f+nJje-'‘^ sin 2?d^=^
L’intégration par parties (lôO) donne aisément
J" e~®? sin ipd^ =
j^V?sin2(pd<p=---^jÿ. JV‘»?sin2y</y=-!i ^-^) (•*);
donc
ou
Ae^4-Be-"=0. A4-B=^,
(■) En général, ?1 une fonclloa f{x) est développable de la manière snivanle:
/^a)= A, sin z-t-Ai sin»r4-A,iiin3i+ -t- A»siniu>|-
on a A,= - r*Re)siniwrrfz. '
En effet, un terme quelconque, autre que A, sin nz, donne l’intégrale
Ap r*sinpisinnidr=|Ap r*[cos(p— n)x-l-cos(p4-B)!r]<ir==;Aj^^'!i^5 — ^^ sin(|M-«i)j; 'j^^ Jo * Jo * l P-» P-*-0 J
en sorte que toutes les intégrales sont nulles, excepté
Ah r‘sin**Z(lT=- a» / *(I— C0SSnz)(tia=' a».
s Jq i
La même méthode est applicable aux séries qui procèdent suivant les cosinus des multiples d'un arc z.
(”) Par exemple, ’*
f •“» aiii fdfz=—e^ cos ç-t-o cos <fdf=— e*’ cos o-H»[e*Vsin 9— a J'e^ sin çd?];
donc
J a®tsin»dç=^-j-^l«®*-l-ll; eü:.
et enfin
2 «-«* * 2 f®* — ér*®**
On trouve, de ta même manière,
Les valeurs de y, et de z, sont donc
de sorte
que
sinç
qSinS?
57 e-Hif
sin ç
O sin 2o
, oSin3<p
sin4ç
“4-fa>
^Ki-t-o* ■■
188. Remarques. I. Ces deux formules (qui rentrent l'une dans l'autre) subsistent pour toutes les valeurs de comprises entre 0 et rt : la première est en défaut pour <f=0, et la seconde, pour (p = it.
