Tbéorèhe. Soit une série convergente

dont Iss termes, alternativement positifs et négatifs, décroissent indé/iniment. Si l’on fait

(') Non conlenis de résoodre ce problème, plusieurs géomètres ont prétendu transformer certaines séries divergentts en séries convergentes. Nous croyons que cet énoncé est un non-sens.

('*) Tracts on malhemaUeal and pkOosophical subjects, 1. 1, p. 178 (ISIS).

("‘) Elle a été reproduite par M. Poncelet, dans son Mémoire sur {'application de la mé- % thodé des moyennes (youmal d« Crellc, t. XIII.)

“l = U, U, = AU,, «J M4 = AUj,

Ah,— Am.= A’u, . Au,— AM,=r A‘u, . Au,— Au,= A’u, ,

et que l’on suppose

A«,> Au,>Au, > A’m,>A‘u,>a‘m,>.

on aura

Démonstration. On a, d’après l’équation (1) :

c’est-à-dire

2»=u, -f- A u, — Au,-|-Au, — Au,-|- ; , (2)

ainsi les différences premières, prises alternativement avec le signe + et avec le signe — , forment une série convergente.

La transformation précédente, appliquée à l’équation (2), donne

4<= 2u, ■+■ Au, -1- A-u, — A*u,H- A’u, —

puis

8s= 4u, -I- 2Au,4- A*u, -f a’m,— A’u, -q- A’u,—

1 6s=8u,-|-4Au, -|-2A’u,-|-A’u,-|- A’u, — A* u,-(-

Actuellement, en vertu des hypothèses précédentes et des équations (2), (3), (4) on a

*>2“i+iAu,,

*>§«i+jAu,4-Îa’u,,

*<§«t+|Au„

*<i«.+;A«i+jA*u,,

(•) Aün qne toutes les différcoccs soient positives, on fait les soustractions dans un

ordre contraire à celui qui est généraiement adopté.

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