Applicatios. La série

est convergente ou divergente, suivant que x est, en valeur absolue, inférieur ou supérieur à l'unité (*).

On a effectivement

lim\/u„=x.

18. Théobème VII. Si les termes décroissent indé^niment, et qu'ils soient alternativement positifs et négatifs, la série est convergente . Démonstration. Soit la série

dans laquelle nous supposons

>««-.> «B >«Wi> ^ '

et, en outre, ' '

limu„ = 0. ‘ .

(•) On suppose a po>Ulf, ou au moins non eniier. .

{'*) Si les premiers Icrmcs ne saüsfai^iaifnl pas à ces comlUioiis, on reprcsenlerail jtar U| le lerme à parlir diiriuelf la série devenant elle* sont vérillêes, Tar exemple.

dans le cas de la série

tO 10»

choe plus haut (5), on furail

lO'l

’ ti.ii ' i ■

lî TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE DES SÉRIES.

Si, pour Gxer les idées, nous supposons n pair, nous aurons :

— Ml (m, U,) («4 Ugy ..... (Mh— 2~“U„|)— M„.

Ainsi, les sommes de rang impair vont en diminuant, et les autres vont en augmentant. D’ailleurs, la différence

n pour limite zéro ; donc ces diverses sommes ont une limite commune S, comprise entre deux sommes consécutives quelconques.

19 . Remarques. I. Si les termes, alternativement positifs et négatifs, et décroissants, tendaient vers une limite X differente de zéro, la série serait indéterminée. En effet, les sommes S,, S,, Sg, ... S„, iraient encore en diminuant, et les sommes S,, S,, ..., S„, respectivement moindres que les premières, iraient encore en augmentant ; en sorte que les unes et les autres auraient des limites. Mais, à cause de /tm u„= /im (S„, — S„)=X,

^oii aurait /imS„, — limS„=X,

Ainsi,, fa limite des sommes de rang impair serait égale à la limite des sommes de rang pair, augmentée de X {').

(*) Soil la série

aiii|iu'l cas " 1)11 a

ilolIC

3 3 i $ Sn • Sn+t

Km u*=t. ^

, fi 3\ n 5\ / Sn SIM-1\

■~l.s'*'3.*'’' "^(Sn— l)Sn

8^3 * 8n-l an’

lim Sn = li.