Théorème VUI. Let mimes choses étant posées que dans le
Théorème VII, l’erreur t que l'on commet en prenant la somme S„, au lieu de sa limite S, est inférieure au terme u„ 4 ., qui suit celui auquel on s’arrête.
Démonstration. 1° Si n est pair, on a S„<S<S„+.;
d ou ^ S S„ ,
c’esl-à-dire s
2° n étant impair, on a
puis S,i— S<S„— S„+, ;
et enfin '
21. Remarque. L’erreur e, prise positivement ou négativement, suivant que n est pair ou impair, est égale au reste R„ de la série.
22. Théorème IX. Une série composée de termes positifs et de termes négatifs est convergente si les groupes successifs, formés par des termes de même signe, diminuent indéfiniment.
Démonstration. Supposons que la série se compose d'un certain nombre de termes positifs, suivis d’un certain nombre de termes négatifs, suivis, à leur tour, d’un certain nombre de termes positifs, etc. Représentons par g, la somme des termes formant le premier groupe, par — la somme des termes formant le deuxième groupe, etc. Le terme général u„ appartient à un certain groupe g,-; par conséquent, la somme S„ est comprise entre
S(i—ÿî+ffj— ••••"• ±3.-1 —
D'nn aulre cAté,
I (i 31 \l il \în-S îfi-l/ •
~ ri (in-a)(Sn-i)l
==*ri l+l + ! L T
La a i *n— a an— ij’
donc iimS„,= a — (1 — (S),
nu /itnS,, = l +lim S».
D’après le Théorème VU, ces deux somines ont une limite eymmune S. Donc aussi
Itm S«=S.
Ü3. •Appucatio.'i. La série
est convergente.
En eiïel :
1 De ÿi— 1. S'i — 5+^*
on conclut
puis
limgi= 0.
donc
i]. .fu *1
îh"’"-''*. Lf + 1 l’+S.J (i+l)(i+2)
(i'4-i;fi’+3|-) e >4
(i4-l )(•+■>) (•+lt('+2)’
ou
quantité positive. ^ ^
24. Théorè.mk X. Les mêmes choses. élaHi posées que dans le Théorème IX, l’erreur que l’on commet en prenant la somme des | premi^s groupes, au lieu de sa limite S, est inférieure au groupe de rang 1+^;
4 * ^ lÉ^ ^
La dénionstralion est semblable à ccjle du Théorème YUI,
25. Lemme I. Si f(x) est une fonttion positive et croissante, dont
la dérivée soit décroissante, on a "* ' •
f{x+h)-f{x)<hÇ{ar) (1),
f{x)-f{x-h)>hr{x) (2).
