Problème XXXII. Transformer la série

en d’autres qui soient plus convergentes.

1° Le calcul précédent conduit à

2° Si I surpasse 1, le même calcul, appliqué à la série (11), donne I - X — 3 /x— 3\’ /x— 3\^ , ,

3' Semblablement, si x surpasse 3, on peut remplacer la série (12) par

et ainsi de suite.

204 . Remarques. I. Les limites de convergence,. pour. les séries (10), (11), (12), (13), sont, respectivement :

IL Supposons, dans les deux premières séries, x~ 2 : la série (10) deviendra divergente, et il serait absurde de prétendre, comme l’ont fait plusieurs géomètres, qu’elle est encore éq<ciralenle à son premier membre, ou que l’on a

x=l— 2+4-8-1-lC—

•Néanmoins, l’équation (11), déduite de la série (10) quand eelle-ei était convergente, subsiste encore. En effet.

Ainsi, une série convergente {B),' déduite d’une série convergente (A), obtenue en développant une fonction F(\), peut, dans certains cas, représenter encore F(x), après que la série (A) est devenue divergente ('). •'

(T Cesl probablemcDt U cc iiu'oni voulu cxpriinur los auteurs i|ui se sont occupés de , la trantformalion drs sMrs divergtnlts en üriet convergentes (IB7, première nota).

III. Si, dans les séries (11) et (12), on suppose % compris entre — 1 et -|-1, les termes de la première série deviennent tous positifs. Il n'esl donc pas toujours nécessaire, pour l'application de la méthode de Uullon, que les termes de la série proposée soient, alternativement, positifs et négatifs. Il est vrai que, la série transformée pouvant être moins convergente que la série primitive, la transformation n’oITre plus d’utilité (*).

IV. Pour une même valeur de x, comprise entre - et 1, les séries

(11), (12), (13), sont de moins en moins convergentes; mais elles

le sont plus que la série proposée (10). Par exemple, Æ = ^ donne les résultats suivants :

ll6^

il 6.

iîl