CHAPITRE VU. — TRANSFORMATIONS DE SÉRIES

dence une partie des secours que l'analyse mathématique peut attendre de l’emploi des imaginaires (*).

S208. Lehhbs :

1“ «^^~‘=cosa:±I^ — 1 sin a; (**).

2“ . cos®= , sina;=: .

3» co8(a/=i)=^^ si„(;c/=T)=f!::^i/z:ï,

207. Problème XXXIII. Développer, suivant les sinus il les cosinus des multiples de m, la fraction

l pe«l/-r

Ablution. La Formule

trouvée en supposant x*<l, subsiste quand x devient imaginaire, mais que son module est inférieur à l’unité (“*). Par conséquent, pour toute valeur du module p, moindre que l’unité, on a

— =1 4-pe“V^+pV“^ + pV“V^^H-

^-^rx^JpIcosnto+l/^Tsinn»). (1)

208. La Formule (1) serait à peu près inutile, si nous ne mettions son premier membre sous la forme A+B/ — 1. Or,

^ t — t — f'cosu — v'— lsiiiM)

1 — t — 2fcoso+p’

(') MM. Briot cl Boiiqoct ont publié réoumnienl, dans le Journnl de l'École folylechnique, un mémoire intitulé : Étude des fonctions d’une variable imaginaire. Nous regrettons que resiguïtédu cadre dans lequei uoiis avons dû nous renfermer nous ait empêche de rien emprunter i ce beau travail (septembre 18S8).

(”) Nous rappelons que ce lemnie, dont les autres sont des conséquences immédiates, renferme ta formule de Voivre ( I U).

(••') C’est ce qu’il est facile de démontrer.

*ii --r

i — pCOSw , ,

i ~ 2^coso+V- =^+P‘=°^“+P cos2«+p’cos3o)4- (A)

P sin w . . « • ^ «

Ces formules ne diflièrenl pas de celles que nous avons trouvées dans le Chapitre VI (Probl. XXIII), par un procédé beaucoup moins simple que celui-ci.