CHAPITRE VH. — TRANSFORMATIONS DE SÉRIES. 1Î

De mêine, la formule (D) conduit à

l(e--«-.-)sin(cos«)=*-^“-^+j^ (G)

l(e‘>--.-«^»)coa(coa.) = îî^-J!g+i^^ (H)

n. La combinaison des quatre dernières formules donne encore ces résultats remarquables :

,ioM / \ J . sin» cos2u cosôu . cos4« , siü 5« .

••■"“cos(cos«)==l4--p--j^--j^+î^+j^ (I)

,i-„ . , . cos» . sinî» cos3» sin4» , cos5»

« s.n(coso.)= (K)

211. Problème XXXV. Développer les fonctions sin (pe*’'^"'), cos(pe“'^).

Solution. Les formules

Sin x=

‘^0*®=1- O + rro —

donnent

sin (pe'*'^^)=2o ( — l)V"^'[cos (2« + 1) w + — 1 sin (2n cos(pe"'^)=2j ( — l)"p*" [cos2f»ca-|-l^ — lsin2n&>].

Il reste à transformer les premiers membres. Or,

sin(pe"'^)=sin(pcosw+l^ — 1 psin &>)

=;sin (pcos(ü)cos ly — 1 psin <a)+cos (pcoso>)sin y — 1 psinu)j =îsin(pcos«)(ef’”“+e-^*““)+Jcos(pcoscü)(ef‘"“-e-P""“)l^; cos (pa"'^“‘) = cos (p cos » + 1^ — 1 p sin u)

= cos(pcos(>>] cosiy — rpsinw)— sin(pco8 u) sin y — 1 psinoi)

= lcos(pcos«)(«f'““4-«-^*““)— |8iii(pcoso.)(eP""“—

Donc

"““)jin(pcoS(a)= |cosw — ^-|-^cos3(oH- , (L)

I (gP .in »j p .i. t çog 0 )^ COS 3o> + (M)

l(e? >'"“+e-f’"'’“)cos(pcosa))=l— ^-^os2o>4- (N)

1 («P »■> “e-P •“») gin (p cos m) = ^siü 2(o— j^sio 4w+ ; (P)

puis

ef “ sin (p cosu) = jcos û) + ^ sin 2u — — co® 3&> — (Q)

e!"'"“cos(pcoso>)= 1 + l^sinu — ^ cos2to — ; (R)

etc.

212. Problème XXXVI. Développer la fonclion /(l + pe“'^~‘). Solution. En opérant comme dans les problèmes précédents, on a d’abord

/( 14 -pg**^~')=^ ( — ^[cosnw+l^ — Isin nu] ; puis, si l’on suppose