CHAPITRE H.— l'HÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE. Ij

Ceü deux illégalités, qui deviennent évidentes nu moyen d'une figure, peuvent aussi se démontrer comme il suit :

Soient

^{h)=f{x+h)-f{x)-hr{x), .^{h)=f{x)-f{x-h'^-hr{xy, ■* d’où

D’après la seconde hypothèse,

La fonction <p(A), ayant une dérivée négative, est décroissante. D’ailleurs, elle s’annule avec h: donc, etc.

26. Lemmb II. Soit f(x) une fonction positive et indéfiniment décroissante, du moins à partir de x = a — 1; soit F(x) ta fonction primitive de f(x). On a '

/(a)4-/{o -+-!) + -f-/Io4-n— l)>F(a+n) — F(a) ’

/(a) +/(a + 1 ) + -tf[a+n — 1 )<F(a+n— 1) — F(o— 1 ) ( 4) .

Les inégalités (1) et (2) donnent

f{x-^nh) — f{x) <C.hff[x)-\-f(x+h)-i- +/'(j;+n — ^14)],

Remplaçant f par F, f par x par a, et 4 par l, on a les inégalités (3), (4).

27. Remarques. L^Ce second lemme est évident à l’inspection de la Uguru ci-contre (*]|,

* ' . n CelW mélboUe lrè*-*impie a élé employée par M. L. Olivier {Journal dt CrtUt, ■ ■* I. II).

TRAITÉ Ét.ÉMENTAIRE DES SÉRIES.

II. Si F(a:) devient infinie pour x = a—\, on remplace l’inégalité (4) par celle-ci :

qui équivaut à

28. Tbkobë.«e XI (Théorème de Cauchy]. Si f(x) esl me fonction positif et indéfinimenl décroiteanle, la série

est convergente ou divergente en même temps que la fonction primitive F(x) (•).

Ce théorème est évidemment contenu dans le Lemme II.