CHAPITRE II. — THÉORÈMES SUR EA CONVERGENCE

puis

et enfin (')

lim B =: — fc.

C=(n+2)/(n-I-2)//(n-I-2)[^(^^^ — iJ

Soit

d’où

Soit encore

d’où

l(n+2)=pl[l-l-;~].

Ces valeurs donnent

puis

/»mC=: — fc;

etc. (**).

37. Théorème XIV. Une série composée de termes positifs est convergente ou divergente, suivant que la première des quantités

/im|(n+l)!^^— n],

• <im [(n -1-1 ) /(fH- 1 )^ — n/nj .

lim j (n-j-l) /(n-È'l)^i{N-+-l)— — n/nl/nj ,

qui n'est pas nulle, est négative ou positive. ’ ‘

Supposons, pour 6ier les idées, que l’on ait constamment, à pactir d’une certaine valeur de n,

(•) A caiise do —e.

(■*) Il ne ser«U pas difflcile, au moyen d'un nlsoiincnienl toniiu, de faire noir mic la propoaiüon énoncée csl generale. » .

y étant positif. D'après la relation

démontrée ci-dessus, on peut toujours assigner une valeur positive

de k, inférieure à y, telle que l’on ait, à partir de la môme valeur de n,

on

Mais, s il en est ainsi, les termes de la série proposée décroissent plus rapidement que ceux de la série convergente

donc la première série est convergente.

La même démonstration est évidemment applicable à tous les cas (*).

■■58. Remarques. I. Si l’on pose

r.= n/'î±i-i-r,/(,H-l), r,=nlnl‘.^^r,ll(n+l).

on pourra roodificr ainsi l'énoncé précédent :

. ( ) Si le leclcur éproiivail quelque dilDcullé à comparer les binAmes il pourrail remplacer celui-ci par

Lfi-f-2 J

En eOei, colle dernière quanliic a la même limite que B. Celle leinarqne subsiste pour les autres binômes.