CHAPITRE II.'— THÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE
donc /tmr,= l:
la titie est divergente.
' 111. Discuter la série
<H-c o'-f-o' ((H-c)(8o-H!) (o'-+<')(îo'-+-cO
Vf
(6-K)(2<h-c) (n^ iH-c) (6'+c')(2i'-l-c').....(n^l 6'-(-c')
J tio-H’ na-)-c
nb-\-c ' nb'-\-c'
(aa' — 66')n’-+-(ac'-H:o' — 6c' — cb')n
66'n’-(-(6e’-H6')n-t-cc'
2° Si aa' — 66' est différent de zéro,
aa' — 66’
timr.= -
bb'
Suivant [que cette quantité est négative ou positive, la série est eotivergente ou divergente.
3” Si aa'=±:66', {(mr,= 0, en sorte qu’t/ g a doute. Hais, daitè ce cas.
- , , , , (oc'-Wo’— 6c’ — c6’-<-66')n’-(-(ac'-Ka')n-Kc'
66'n*-|-(6c’-K6')fH-cc' ’
puis
lim r,=
ae'+ca ' — 6c' — c6'-t-66' 66 ' •
4° On peut toujours supposer 6 et 6' positifs. Dès lors, la série est convergente ou divergente, suivant que l’on a
oc'+cu — 6c’ — c6'4- 66' ^ 0.
5* Si ac-t-ca' — 6c’ — c6'4-66'=0,
il y a doute. Mais, évidemment, lim [r,Z(n-|-l)]= 0; donc
lim r,= 1 :
la série est divergente.
Ou Itriu à tcrnu oroittanU et déeroiManU.
40. Jusqu’à présent, nous avons supposé que les termes de la série proposée décroissaient indéfiniment, du moins à partir de l’un d’eux; et nous avons indiqué diverses règles au moyen desquelles on peut, * dans tous les cas, reconnaître la convergence ou la divergence. Hais il
TRAITÉ ÉIÆMEiVTAIRE DES SÉRIES.
peut arriver que le terme général m„, tout en ayant pour limite zéro, soit exprimé par une fonction de n tantôt croissante et tantôt décroissante (*). Il paraît très-difficile de trouver des règles simples, relatives à ce cas singulier. Nous nous contenterons d’énoncer la proposition suivante, analogue au Théorème IX :
