III. Soit euGn

. nir , nrt nsiD n*cos^

nous aurons la série

3 ' 36 7 6*~'“9~'”l00 H lU”'”'

que nous pouvons réduire à

g,— 9i+9)—9i + ±ffi=P

en posant

Par conséquent, la série est convergente (”).

43. Rehabque. Une série à termes allernativemenl positifs et négatifs, et dont le terme général a pour limite zéro, peut être divergente. Pour justifier cette proposition, il suffit de considérer la série

(') Oo verra plus luin que celle série a pour somme "J" ••

ÎT Tt*

("■) Elle a pour somme -h —

30 TRAITÉ ËLÉUENTAiaE DÈ SÉRIES.

KffeclivemeDt, la somme des 2n premiers termes est

doDC la série est divergente ('].

Del lériet îmegmairec.

44. Définition. Vm série dont le terme ^^éral a la fomt^ est dite convergente, lorsque les deux séries

Pt + P> + (3|+ +(3i«+

sont convergentes.

On voit que les conditions de convergence d'une série imaginaire donnée se ramènent immédiatement aux conditions de convergence de deux séries réelles. La proposition suivante réduit très-souvent l’examen de la série proposée à celui d’une seule série réelle.

4iS. Théosèiib XVI. Une série imaginaire est convergente, si la série formée par les modules de ses termes est convergente.

Si l'on met^le terme général, + — 1, sous la forme

P„(cos 6)„4-J/ — 1 sinw«),

p„ étant le module de u„, les trois séries réelles dont il s’agit seront

Pj cos u,-4-p, cos w,-}-

p, sin 6), Pj sin <a,-4- -|- p^sin Un-t-

pi +Pj + + P» +

(q Celte térieapparlient bleu SI la clatseque nous veBODS d'examiner; car, èvidemineal,

D'aiManrt, pour réduire à la même Tonne lee termes de rang pair et lea termes de rang . Impair, il sufflt de prendre ,

' cos (»-4-l)lt •'

- CM fUC H- GO»