CHAPITRE H. — THÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE. SI

Or, si ccUc dernière série, dont tous les termes soM positifs, est convergente, les deux autres le seront pareillenncnt (Tbéor. IV).

46. Remarques. I. Si le module p„ n’a pas pour limite zéro, ^ série proposée est ditergenle ou indéterminée.

En effet, à cause de

une, au moins, des quantités a„, (3„ n’aurait pas pour limite zéro.

II. Si le module p„ a pour limite zéro, et que cependqnt la sfrie des modules soit divergente, la série proposée peut être çqntergente, • Par exemple, la série

dont le terme général a pour valeur

ir n" , •/ — r • "'1 -[COS-+I/-1 8.n-j,

est convergente, bien que la série des modules

soit divergente (*).

47. Lemme (Théorème d’Abel). .SdfetMji,, u,, ,u„des quantités

réelles, positives ou négatives. Soient ' t',, t e„ des quantités

^Itsitivet, décroissantes. Si, pour toutes les valeurs de n inférieures à une certaine limite, on a i,

on aura aussi

la lérie proposée a pour somme

Détnonslralion. Posons, pour abréger,

*n=Wi4-w,+ s„=e, U, + £,«,-}*-

Nons aurons

et, par conséquent,

Mais, les différences e, — e,, e, — s, e,,, — e„ étant positives,

* on a, d'après l’hypothèse :

{^n—i E«)A <[ (£a i S,i)Sn— I <C (^n— i — *n)Bt

Ajoutant toutes ces inégalités membre à membre, et réduisant, on obtient

41f. Tuborkme XVII, Si les termes

d’un* série convergente ou indéterminée, sont respectivement multipliés par des quantités

positives et indéfiniment décroissantes, la série

ainsi formée, est convergente.

Démonstration. En conservant les notations du numéro précédent, on a d'abord <

SiA<S„<e,B.

Ainsi, la série (1) n'est pas divergente. Elle ne saurait être indéterminée ; car

lim t„u„ = lim e„ . lim u„= 0 . lim u„=0.

Donc celte série est convergente.