CHAPITRE III. — sommation DE QUELQUES SÉRIES

lia. La méthode que nous venons d'employer est applicable h toute série convergente ayant pour terme général une fraction rationnelle dont le dénominateur est égal au produit d’un nombre déterminé de termes appartenant à la progression

n-\-a, tt-f-fl-f-l, M— |-<i—

dans laquelle ii est une constante quelconque. Cette proposition sera suftisamment démontrée par les deux exemples suivants.

^i. Pboblémb ni. Sommer la série déterminée par

Solution. Si l'on pose

n(n-H)(n+3)fnH-4) n(n+t)'*"

on trouve aisément

(n+l)(rH-2) ■'■(n+2)(/.+3) ■*"(n+3)(*+4)’

î-+dV’

D'ailleurs, ou

et, par ce qui précède,

~Jr+T’ n+i’

■i, i(i-l-l)~3 rH^’ ?(|-H) 4 n+4’

donc

En efTectuant, on obtient 13 7

(*) Il e.U (ris-facile de reconiullre qne, la série élani eODvergeDtc, la décom|iosilioii essayée est possible, et qu’elle l'est d'une seule manière.

d’on

57. Pbobléme IV. Sommer ta série contergenle So-t-l . 2a-(-» 2a + w

(<J-f-2)(a-f-4)(o-H$) (a+n)(a-+-n+îl(<H“B'+^)

Solutiou. Décomposant le terme général en

(iH-n)(<H-n-H) ((H-»+l)(o-l-n4-*) (a-4-FH-2j(o-f»-f-3l

et opérant comme dans le Problème III, on obtient

O I fi*^l 6 O— f“i2 O I fl I 2 3 0-^0 Qr^n ^ 3 * ^

.. I- .. loto t a — 3

puis S = itfnS, = - r4--n — ^ T--

58. PBOBLÉne V. Trouver la somme des n premiers termes de Ut série

Solution. Pour appliquer encore la méthode employée dans le Problème I, essayons de décomposer le terme général en deux fractions de la forme

An— 1 A»

(0-H)(cH- 2) (o-+n-2)’ (o-t-l)(o+2J (o-Hn-1)’

ou, cc qui est équivalent, posons

Soit

nous aurons

ü;tte équation devient identique si l’on prend

n Ou iU|>|M»e a |«(silit, ou mil. ou ni'galif non oniier.

i") Cuininu |iréii'deiuniiMil, la coiiaUinlc a ne doit point iire éjîale à un eiilicr négalif.