CHAPITRE III. — SOMMATION DE QUErxjüES SÉRIES. « Par exemple

J î+ =irl i .

ii 2« 2* 7*— 2* ■■ -il 2 3^* 5J~^0’

etc.

G7. Remarque. D’aprè.s les deux problèmes précédents.

i)»— 4« ' ■ ît|

(î+o)*— 6*^(3 -hj)«— *• (5-Wi)»— 4«

et

si b eti entier.

B8. Problème XI. Déterminer

S„=\ + 'iq + 3q*+ 4-nç’'"'. .

Solution. On a

îS„= ç-f" 2ç’+3ç’-+- **9" •

donc, en retranchant membre à membre (*) :

(l— g)S,= l-t-î+ 5*4- + q“-'-nq-, ■

ou

et, par conséquent.

(1— — aç":

On déduit de cette voleur, en supposant 1,

S = lim S.

Ainsi, la somme de la série convergente

1, '2q, 3q', iq"' nq‘‘~'.

(*) Ce procédé est loin à fait semblible à celui que Ton emploie, en arichtnélique, pour

ftémonlrcr la formule des progressions par qnolient ; S=

t**) En effcl, lorstjue 7 esi compri» tmire — I et -*-l. *'

/ffn7*=0 el ft/rni7"^0.

TRArrÉ fiLÉMENTAIRE DES SÉRIES.

obtenue en muUiplianl terme à terme les deux progressions

est égale au carré de ta somme de la seconde progression (*).

69. Remarque. Si la quantité q, au lieu d’être réelle, a la forme p(coso) + |/ — 1 sin tü) , la série considérée devient

l + 2p(cosM-|-l'''^^^^ siii6))-4-3p*(cos2(a+l^ — 1 sin 2a>)-|-

-|-wp""‘‘(co8n — 1 M-t-l/ — IsioM — 1 o))-t-.....

D’après un théorème démontré (45), cette dernière série est convergente lorsque le module p est inférieur à l’unité. Dans ce cas, la formule (A) devient

J, I (t — f tosM-t- pV — isinuj'

[I— ffcosN+v^^sin»]]* [t — P cos «)*-(- P* sin’ »)’

On n doue, en égalant les parties réelles et les parties imaginaires :

I — âp cüs w-f-p* oos (I — 2p cos 6>+-p’j* — pcnscajsin w

(1 — 2p cos »-+-?*)*

1 +2pcos<i>-+-3p*cos2(i)-I- 2 sin o> 4-3psin2b)-|-.

,-+-np"“‘cos(n — 1 )«.)-♦-.

-f-np"~’sin(n — 1 )w-4-,

70. PaoBLÈHE XII. Déterminer la somme des n premiers termes de la série dont le terme général est

.Solution. De

S,=a,’, S, =50, *4-0, (a, + 0 ,), S,=o,*4-o,(o,4-o,)-4-o,(o,4-o,4-o,), .... on conclut

2Sj— (oi-)-o,+a,)*4-o,’+a,*4-a,*, ,

et, en général,

2S„— (o,-|-<ij4- +a*)'-f-0i';4-a,*4- 4-a,,'. (D)

[*) I-a formuli' diibiiidine cooiliiil plus rapidemcnl i ce rcsullal.