CHAPITRE IL — THÉORÈMES SUR L\ CONT^ERGENCE

dans laquelle tous les termes sont supposés positifs, il suffit de rendre chacune des parties du premier membre moindre que ~ (*).

IV. Il y a cette dilTérence entre les séries convergentes et les séries divergentes, que, dans toute série convergente, la somme de p termes consécutifs ttnd vers une limite, quand le nombre p augmente indéfiniment, et que, dans les séries divergentes, cette somme croit indéfiniment avec p, quel que soit le rang du premier des termes considérés. Ces deux propriétés, que l'on pourrait regarder comme évidentes, résultent, très-simplement, des principes précédents.

En eOet, si la série est convergente, on a

— S„ -h R„^p — R„= 0 ; puis, en supposant n constant et p variable,

lim (S„^p S„) R„ = 0 ,

ou lim(S„+p—S„) = S — S'„.

Au contraire, la série étant divergente, la somme S„ 4 .p peut dépasser toute limite ; et il en est évidemment de môme pour (S„^p — S„) (**).

8. Théorème HI. Dans toute série convergente, la somme d’un nombre indéfiniment grand (“*) de termes consécutifs tend vers zéro, lorsque le rang du premier de ces termes augmente indéfiniment.

Démonstration. Dans l'équation

(«„+, + «,,+ 2 + + «n+p) 4- Rfi-t-p = 0 ,

supposons que p soit .une fonction de n, qui devienne infinie avec cette variable. Nous aurons, en passant à la limite,

lim (w„ 4 -.+ Mh+j 4- + u„+p)= 0 ,

absolument comme dans le cas où p était supposé constant (6).

(*) Dans la plupart des cas, les termes do la série vont en décruissaiit, du moins i partir de l’un d'eux. S’il en est ainsi, rinépalilé ci-dessus sera véritiée dès que i’on aura

(*•) Toujours en supposant n constant.

("'] Indéfiniment grand aigoilie ici ; (pd croit indéfiniment.

9. Hemarquâ, Cette ]irn|iosition , beaucoup plus générale que le Théorème II, n’exprime pourtant pas une propriété qui appartienne exclusivement aux séries convergentes, l'our le montrer sur un exemple' simple, considérons la série divergente

En supposant p=n , nous aurons

•»+r (n-|-2)l(n+4)^ (2ii-|-IJ/(2n-flT

Tons les termes du second membre sont moindres que — : donc

' ntn

et, conséquemment, — S„) = 0.

Ainsi, ta somme d'un nombre indéfiniment grand de termes consécutifs peut avoir pour limite zéro, sans que la série soit convergente (**).

10. TnÉORÉMK IV. Si les termes d'une série sont, en valeur absolue, respectivement moindres que ceux d'une série convergente dont tous les termes ont même signe, la première série est convergente.

Démonstration. Décomposons la somme S„ des n premiers termes de la série convergente en deux parties a„, b„,' a„ représentant l’ensemble des termes correspondant aux termes positifs de la première série, et b„ la somme de ceux qui correspondent aux termes négatifs de celle-ci. Désignons par S'„, o’„, b’„ les quantités analogues, relatives à la première série. Nous aurons S„=:a„ b„,

La seconde série étant convergente, les sommes positives croissantes a„, b„ ont des limites at, p ; donc les sommes positives croissantes a',, b'„. respectivement moindres que les premières, ont des limUes a, p'; et la somme S'„ a pareillement une limite, égale a «'-P'.

(■) Voir plus loin, n" i».

**} Cède ])roposiiion jusUHe ce ^ue nous avon^ dil ci-KJessuf^ (n* 7).