Théorème XXI

S„<F(a+n-l}-FCo)4-5[/“o)+/I(H-n-l)]-^[r(a)-r(a-l-«-l)].

Démonsbraiion. Soit ATT'.V le trapèze déterminé par la tangente en A, l’ordonnée au milieu de A'B', etc. On a, en désignant par f{a) la dérivée de f[x),

TT'=«, + ^r(a);

donc ATrA'=j[2M,+ i/’(a)];

puis ^„,4.i/'(a)<F(a+i)— F(a).

On trouverait, de la même manière,

\u„-lr{a+n-i)<¥{a+n-l)-¥[a+n-l].

Ces deux inégalités, combinées avec

donnent

81. Remarque, La limite de l'erreur résultant des formules (D)

est

P=î[rw-r(a+n-l)]. ,

82^ Lbmmb. Si f(x) est une fonction positive et indéfiniment décroissante, dont la première dérivée soit croissante et dont la seconde dérivée soit décroissante, on aura

f[x-^h) — f(a-k-h)-\-2kf[x)'^0. ■